线性代数-读书笔记（1）

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方程组的几何解释

• 核心点：从坐标系中行图像和列图像的角度解方程
• 例子：

  • 方程组如下：

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二维行图像

• 将方程式写成行矩阵形式：

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• 解释：求一个位置向量，使得系数矩阵A*未知向量x=向量b

  • 系数矩阵(A)：方程组系数按行提取，构造的一个矩阵
  • 未知向量(x)：方程组中的未知数提取出来，按列构造的一个向量
  • 向量(b)：等号右侧的结果按列提取，构造出一个向量

• 行图像：

  • 两条直线的交点即为方程组的解

    
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二维列图像

• 将方程按列提取，得到如下的线性组合

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它的含义是：构造成两个向量(2, -1) (-1, 2)，方程组的解等价于：寻找合适的x和y，使得 x 倍的(2,-1) + y 倍的(-1,2)得到最终的向量(0,3)

• 列图像如下

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将之前的解代入，可以看到，将(2, -1) 左移1个单位、上移2个单位，重复两次，得到了(0, 3)

推广到三维

• 例子

  • 方程组如下：

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• 使用行图像来表示时，每一个表达式在三维坐标系都可以表示一个平面，那么我们可以得到三个平面，他们的交点就是方程组的解

• 方程组的行矩阵形式如下：

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• 列图像的矩阵形式如下：

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这是一个特殊的方程组，从列图像的矩阵中可以直观地看到，我们只需要取 x = 0, y = 0, z = 1 就得到了结果

• 列图像

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使用列图像来求解方程，他的含义是：寻找合适的线性组合，使得等号左右的向量相等。这种方式的优势在于当等式右边的向量发生改变时，我们只需要重新寻找一个线性组合而不用再重新绘制平面图像去求他们的交点

矩阵的乘法运算

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• 问题
  • 对于任意的A*x=b，我们都能求出对应的线性组合吗？即：列的线性组合能否覆盖整个三维空间？
    • 答：不一定，在我们例子中，是可以的，但是对于三个向量A,B,C, 当这三个向量位于同一个平面时，他们的线性组合显然也是在这个平面（比如C=A+B）, 当b在这个平面内时，方程组有解，但大部分不在平面内的b，我们无法求解。这种情形称为奇异，这种矩阵是不可逆的。
  • 考虑9维的情况：假设向量具有9个分量（9个方程，9个未知数，每一列都是9维空间的向量），考虑其线性组合，通过线性组合得到得到A*x=b,对于任意的b，是否总能有解？
    • 答：对于相互独立的9个向量来说，是可以的，9个向量及其列组合，能够覆盖整个9维空间，但是如果第9列碰巧等于第8列，这时候，我们的线性组合只能覆盖9维空间中的8维平面，最后的求解也只能在这个8维平面上展开。