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数值分析读书笔记(2)求解线性代数方程组的直接方法

数值分析读书笔记(2)求解线性代数方程组的直接方法

作者: Mezereon | 来源:发表于2018-08-13 21:44 被阅读0次

    数值分析读书笔记(2)求解线性代数方程组的直接方法

    1.引言

    矩阵的数值计算一般可以分为直接法和间接法

    本章主要介绍Ax=b这类线性方程组求解的直接法,数值求解该方程组的基础思想是Gauss消元法

    实质是通过一组满秩的初等行变换,将A保秩变换成一个三角矩阵U,此变换过程称为矩阵A的非奇异上三角化

    我们的目的就是寻求一个矩阵P,使得PA=U,其中U是一个三角矩阵,其中Ax=bUx=\overline b同解(\overline b=Pb),有效的生成一个P是我们主要研究的问题

    2.初等下三角矩阵--Guass变换矩阵

    回顾一下线性代数中的三个初等线性变换

    • 数乘
    • 倍加
    • 互换

    我们引入一个一般意义上的初等变换矩阵,它把许多常用的线性变换统一在一个框架里面,在数值线性代数中起着重要的意义

    Def: 称C^{n \times n}中如下形式的矩阵E(u,v;\sigma)初等矩阵:
    E(u,v;\sigma)=I-\sigma u v^{H}
    其中非零向量u,v\in C^{n},\sigma \neq 0是实或者复数,即
    E(u,v;\sigma)=\begin{pmatrix} 1-\sigma u_1v_1 & -\sigma u_1v_2& \cdots &-\sigma u_1v_n\\ -\sigma u_2v_1& 1-\sigma u_2v_2 & \cdots & -\sigma u_2v_n\\ \vdots & \vdots &\ddots &\vdots\\ -\sigma u_nv_1&-\sigma u_nv_2 &\cdots &1-\sigma u_nv_n \end{pmatrix}
    选取不同的u,v,\sigma,可以得到许多常用的线性变换矩阵

    • 数乘(E_1=E(e_i,e_i;1-\alpha)
    • 倍加(E_2=E(e_i,e_j;-\mu)
    • 互换(E_3=E(e_i-e_j,e_i-e_j;1)

    下面引出初等变换矩阵的一些重要的数学性质
    1.两相同向量u,v组成的初等变换矩阵可交换,其积仍然为一个初等矩阵
    E(u,v;\sigma)E(u,v;\tau)=E(u,v;\sigma+\tau-\sigma \tau v^{H}u)

    证明:
    \begin{align} E(u,v;\sigma)E(u,v;\tau) &=(I-\sigma uv^{H}))(I-\tau uv^{H})\\ &=I-\sigma uv^{H}-\tau uv^{H}+ \end{align}

    2.若1-\sigma v^{H} u \neq 0 ,则初等矩阵E(u,v;\sigma)可逆,其逆矩阵也是初等矩阵
    E^{-1}(u,v;\sigma)=E(u,v;\tau),\tau=\frac{\sigma}{\sigma v^{H}u-1}

    3.设v^{\bot}表示和v正交的(n-1)维子空间
    a.若u\notin v^{\bot},则E(u,v;\sigma)有n个线性无关的特征向量,该组特征向量由u和v^{\bot}中任取一组基向量组成
    b.若u\in v^{\bot},则E(u,v;\sigma)仅有n-1个线性无关的特征向量,该组特征向量由v^{\bot}中任取一组基向量组成

    4.det(E(u,v;\sigma))=1-\sigma v^{H}u

    5.对任意非零向量a,b\in C^{n},必可适当选取u,v,\sigma使得E(u,v;\sigma)a=b

    事实上只需要取u,v,\sigma满足v^{H}a\neq 0,\sigma u=\frac{a-b}{v^{H}a}

    由初等变换矩阵引出Guass变换矩阵,我们选取\sigma =-1,u=l_{k}=(0,\cdots,0,l_{k+1},\cdots,l_{nk})^{T},v=e_{k}=(0,\cdots,0,1,0,\cdots,0)^{T},k=1,2,\cdots,n-1

    得到n-1个Guass变换矩阵
    L_{k}(l_{k})\equiv E(l_{k},e_{k};-1)=I+l_{k}e_{k}=\begin{pmatrix} 1\\& \ddots\\&&1\\&&l_{k+1,k}&1\\&&l_{k+2,k}&&1\\&&\vdots&&&\ddots\\&&l_

    下面给出Guass变换矩阵的一些性质

    1.det(L_{k})=1+e_{k}^{T}l_{k}=1

    2.Guass变换矩阵的逆只需要将\sigma从-1变成+1

    3.L_{1}(l_{1})L_{2}(l_{2})\cdots L_{n-1}(l_{n-1})=\begin{pmatrix}1\\l_{21}&1\\l_{31}&l_{32}&1\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots\\l_{n1}&l_{n2}&l_{n3}&\cdots&1\end{pmatrix}

    注意左乘的顺序

    3.Gauss消元法

    先介绍一下顺序Gauss消元法,大概分两步

    • 消元过程
    • 回代过程

    在消元过程中,我们不断去左乘Gauss变换矩阵,不断将原矩阵的下三角部分一列列变成0,从而最终变换成一个上三角矩阵

    需要注意的是,在一列列的消元过程中,我们需保证a_{ii}\neq 0 (i=1,2,\dots,n),所以需要利用行互换来保证此条件

    当然这一切消元过程的前提是,矩阵A应该是非奇异的

    经过n-1次的Gauss消元,我们可以得到一个上三角矩阵
    L_{n-1}^{-1}\cdots L_{k}^{-1}\cdots L_{2}^{-1}L_{1}^{-1}A^{(1)}=A^{(n)}x=L_{n-1}^{-1}\cdots L_{k}^{-1}\cdots L_{2}^{-1}L_{1}^{-1}b^{(1)}=b^{(n)}

    在回代过程中,由于我们得到了一个上三角矩阵,那么就可以从最底行开始逐步解出x

    Gauss消元法的复杂度是O(n^{3}),高阶状态下比起克拉默法则运算量要小得多

    Gauss消元法过程中,在对各列进行消元的时候,如果主元比较小的话,运算的结果会产生较大的误差,故引入Gauss列主元消元法,即在每一次利用主元消元的步骤之前,把该列中绝对值最大的数所在的行与主元所在的行进行交换

    4.三角分解法

    我们利用Gauss变换矩阵对Gauss消元法进行进一步的分析
    L_{n-1}^{-1}\cdots L_{k}^{-1}\cdots L_{2}^{-1}L_{1}^{-1}A^{(1)}x=A^{(n)}x=Ux
    \begin{align}A&=L_{1}\cdots L_{k}\cdots L_{n-2}L_{n-1}U\\&=(I+l_{1}e_{1}^{T})\cdots(I+l_{n-2}e_{n-2}^{T})(I+l_{n-1}e_{n-1}^{T})U\\&=(I+l_{1}e_{1}^{T}+\cdots+l_{n-1}e_{n-1}^{T})U\end{align}

    由此引出矩阵的LU分解,又称Doolittle分解
    A=\begin{pmatrix}1\\l_{21}&1\\l_{31}&l_{32}&1\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots\\l_{n1}&l_{n2}&l_{n3}&\cdots&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}u_{11}&u_{12}&u_{13}&\cdots &u_{1n}\\&u_{22}&u_{23}&\cdots&u_{2n}\\&&u_{33}&\cdots &u_{3n}\\&&&\ddots &\vdots \\&&&&u_{nn}\end{pmatrix}

    这里再介绍一下Crout分解,即A=LU中的L是一个下三角矩阵,U是单位上三角矩阵

    注意到某些特殊矩阵的三角分解也是比较特殊的,这里引入一类带状对角形矩阵
    A=\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1,s+1}&\\\vdots&\ddots&&\ddots\\a_{r+1,1}&&a_{r+1,s+1}&&a_{n-s,n}\\&\ddots&&\ddots\\&&a_{n,n-r}&&a_{nn}\end{pmatrix}

    上半带宽为s,下半带宽为r,存在LU分解,其中L是下半带宽为r的单位下三角矩阵,U是上半带宽为s的上三角矩阵

    对于r=s=1的这一类更加特殊的矩阵,称为三对角矩阵,对于此类矩阵的三角分解,介绍一种“追赶法”

    首先做Crout分解
    A=LU=\begin{pmatrix}p_{1} &&&&0\\r_{2}&p_{2}\\&\ddots&\ddots\\&&r_{n-1}&p_{n-1}\\0&&&r_{n}&p_{n}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&q_{1}&&&0\\&1&q_{2}\\&&\ddots&\ddots\\&&&1&q_{n-1}\\0&&&&1\end{pmatrix}
    然后分两步解决此类问题
    追:解Ly=b
    赶:解Ux=y

    注意到正定对称矩阵的三角分解也是特殊的,这里引入Cholesky分解

    首先利用Doolittle分解,得A=LU,对U进一步提取对角矩阵diag(u_{11},\dots,u_{nn}),从而有
    U=DD^{-1}U=D(D^{-1}U)=DU_{0}
    故,A=LDU_{0},由于A对称正定,A^{T}=A,所以有
    A^{T}=(LDU_{0})^{T}=U_{0}^{T}DL^{T}=A=LDU_{0}
    由于分解的唯一性,可知L^{T}=U_{0},从而有
    A=LDL^{T}
    我们可以记,D^{1/2}=diag(\sqrt{u_{11}},\dots,\sqrt{u_{nn}}),从而
    A=LD^{1/2}D^{1/2}L^{T}=LD^{1/2}(LD^{1/2})^{T}=L_{1}L_{1}^{T}
    此种分解手段称为Cholesky分解,限定对角元素为正,此类分解唯一

    上述的Cholesky分解中涉及了开方的运算,下面介绍一种改进的平方根法

    易知,A=LDL^{T},则Ax=LDL^{T}x

    先解Ly=b,后解L^{T}x=D^{-1}y,其中D的逆只需要将对角元素取倒数即可

    5.向量和矩阵的范数

    范数是比长度更为一般的概念,有了范数就可以更好的去测度误差的大小

    关于向量范数

    Def: V是数域R/C上的线性空间,对于V中任意的元素x,\\if 存在一个唯一的实函数N(x)与之对应,记为\begin{Vmatrix}x\end{Vmatrix},而且需满足三个条件\\1.非负正定,2.齐次性,3.三角不等式

    对于非负正定,当仅当x=0,有N(x)=0,否则N(x)> 0;

    对于齐次性,有\begin{Vmatrix}\alpha x\end{Vmatrix}=\begin{vmatrix}\alpha\end{vmatrix} \begin{Vmatrix}x\end{Vmatrix} ,\alpha \in K

    对于三角不等式,有\begin{Vmatrix}x+y\end{Vmatrix}\leq\begin{Vmatrix}x\end{Vmatrix}+\begin{Vmatrix}y\end{Vmatrix},\forall x,y \in V

    这里介绍几种常见的向量范数

    • l_{1}-范数 向量中的元素的绝对值之和
    • l_{2}-范数 向量中的元素的绝对值的平方加起来然后开方
    • l_{\infty}-范数 向量元素中的最大绝对值(使用Cauchy-Schwarz不等式证明三角不等式)
    • l_{p}-范数 向量中的元素的绝对值的p次方加起来然后开p次方根(利用赫尔德不等式即可证明三角不等式)

    在最优化理论中可能会涉及加权范数,A为对称正定矩阵,(x^{T}Ax)^{1/2}是一种向量范数,记为\begin{Vmatrix}x\end{Vmatrix}_{A}

    在无限维线性空间中,比如在[a,b]区间中,对于所有的实连续函数集合C[a,b],对于其中的一个元素f(x)也是有类似定义的范数

    • 1范数
      \begin{Vmatrix}f(x)\end{Vmatrix}_1=\int _{a}^{b}\begin{vmatrix}f(x)\end{vmatrix}dx
    • p范数
      \begin{Vmatrix}f(x)\end{Vmatrix}_p=\left(\int _{a}^{b}\begin{vmatrix}f(x)\end{vmatrix}^{p}dx \right)^{\frac{1}{p}}
    • ∞范数
      \begin{Vmatrix}f(x)\end{Vmatrix}_\infty=max\begin{vmatrix}f(x)\end{vmatrix} ,a\leq x\leq b

    下面介绍一下范数的等价性

    对于任意两个定义好的范数,存在两个与向量x无关的非零正常数c1,c2,有
    c_1\begin{Vmatrix}x\end{Vmatrix}_\alpha \leq \begin{Vmatrix}x\end{Vmatrix}_\beta\leq c_2\begin{Vmatrix}x\end{Vmatrix}_\alpha
    称两个范数等价

    不难验证,此处的等价性满足数学定义中的等价性的三个条件,即自反,对称,传递

    关于矩阵范数

    矩阵范数不仅仅满足非负正定,齐次和三角不等式,而且须满足矩阵相乘的相容性,即
    \begin{Vmatrix}AB\end{Vmatrix} \leq \begin{Vmatrix}A\end{Vmatrix}\begin{Vmatrix}B\end{Vmatrix}

    这里给出一类特殊的范数, Frobenius范数
    \begin{Vmatrix}A\end{Vmatrix}_F=\left(\sum_{j=1}^{m}\sum_{i=0}^{n}\begin{vmatrix}a_{ij}\end{vmatrix}^{2}\right)^{\frac{1}{2}}

    对于C^{m \times n}上面的任意一种向量诱导范数,都有\begin{Vmatrix} I\end{Vmatrix} = \max \limits_{\begin{Vmatrix} x\end{Vmatrix}=1} \{ \begin{Vmatrix} Ix\end{Vmatrix}=1 \}

    这里给出一种范数的定义,即诱导矩阵范数,诱导矩阵范数和向量范数密切相关

    定义:设在两个向量空间C^{m},C^{n}中存在向量范数\begin{Vmatrix} \bullet\end{Vmatrix}_{V}, 定义在C^{m \times n}空间上的矩阵A的由向量范数 \begin{Vmatrix}\bullet\end{Vmatrix}_{V}诱导所给出的矩阵范数为(其中x不为零向量)\begin{Vmatrix} A\end{Vmatrix}_{V}=max\frac{\begin{Vmatrix} Ax\end{Vmatrix}_{V}}{\begin{Vmatrix} x\end{Vmatrix}_{V}}

    我们为了解决这个最大值的问题,继续等价定义来优化这个问题

    \begin{Vmatrix} A\end{Vmatrix}_{V}=max\frac{\begin{Vmatrix} Ax\end{Vmatrix}_{V}}{\begin{Vmatrix} x\end{Vmatrix}_{V}}=max\begin{Vmatrix} Ax\end{Vmatrix}_{V}
    其中第一个max条件为x不为零向量,第二个max条件为\begin{Vmatrix} x\end{Vmatrix}_{V}=1

    我们利用诱导范数的定义可以从原来的向量范数中诱导出三种范数,分别是

    1范数:对矩阵的每一列中的元素取绝对值之后求和,然后选取其中的最大列作为1范数
    2范数:矩阵的最大奇异值,也就是矩阵与矩阵的转置的乘积的最大特征值
    无穷范数:对于矩阵的每一行的元素取绝对值之后求和,然后选取其中的最大行作为无穷范数

    关于矩阵的应用,这里引入一个Banach引理

    设矩阵A属于n*m的复矩阵空间,对于该空间上的某种矩阵范数\begin{Vmatrix} \bullet \end{Vmatrix}_{V},有\begin{Vmatrix} A\end{Vmatrix}_{V}<1,则矩阵(I±A)非奇异,且有\begin{Vmatrix} (I-A)^{-1}\end{Vmatrix}_{V}\leq \frac{\begin{Vmatrix} I\end{Vmatrix}}{1-\begin{Vmatrix} A\end{Vmatrix}}

    给出矩阵谱半径的定义

    矩阵的谱半径为矩阵的最大特征值,关于矩阵的谱半径,它不超过其任意一种矩阵范数(当矩阵是Hermite矩阵时,矩阵的2范数恰好等于矩阵的谱半径)

    继续给出线性方程组中条件数的定义

    在某一矩阵空间中,对于某一矩阵范数,矩阵的条件数=矩阵的范数×矩阵的逆的范数,即
    Cond(A)=\begin{Vmatrix} A\end{Vmatrix}_{V} \times \begin{Vmatrix} A^{-1}\end{Vmatrix}_{V}

    对于矩阵的条件数来说,它显然大于等于1,当矩阵恰好是正交矩阵的时候,矩阵的条件数恰好等于1
    当矩阵为对称阵,对应的矩阵范数为2范数的时候,此时的条件数称之为谱条件数,其值等于最大特征值除以最小特征值,然后取绝对值

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