数值分析读书笔记(2)求解线性代数方程组的直接方法
1.引言
矩阵的数值计算一般可以分为直接法和间接法
本章主要介绍这类线性方程组求解的直接法,数值求解该方程组的基础思想是Gauss消元法
实质是通过一组满秩的初等行变换,将A保秩变换成一个三角矩阵U,此变换过程称为矩阵A的非奇异上三角化
我们的目的就是寻求一个矩阵P,使得PA=U,其中U是一个三角矩阵,其中和同解(),有效的生成一个P是我们主要研究的问题
2.初等下三角矩阵--Guass变换矩阵
回顾一下线性代数中的三个初等线性变换
- 数乘
- 倍加
- 互换
我们引入一个一般意义上的初等变换矩阵,它把许多常用的线性变换统一在一个框架里面,在数值线性代数中起着重要的意义
Def: 称中如下形式的矩阵为初等矩阵:
其中非零向量是实或者复数,即
选取不同的,可以得到许多常用的线性变换矩阵
- 数乘()
- 倍加()
- 互换()
下面引出初等变换矩阵的一些重要的数学性质
1.两相同向量u,v组成的初等变换矩阵可交换,其积仍然为一个初等矩阵
证明:
2.若 ,则初等矩阵E(u,v;\sigma)可逆,其逆矩阵也是初等矩阵
3.设表示和正交的(n-1)维子空间
a.若,则有n个线性无关的特征向量,该组特征向量由u和中任取一组基向量组成
b.若,则仅有n-1个线性无关的特征向量,该组特征向量由中任取一组基向量组成
4.
5.对任意非零向量,必可适当选取使得
事实上只需要取满足
由初等变换矩阵引出Guass变换矩阵,我们选取
得到n-1个Guass变换矩阵
下面给出Guass变换矩阵的一些性质
1.
2.Guass变换矩阵的逆只需要将从-1变成+1
3.
注意左乘的顺序
3.Gauss消元法
先介绍一下顺序Gauss消元法,大概分两步
- 消元过程
- 回代过程
在消元过程中,我们不断去左乘Gauss变换矩阵,不断将原矩阵的下三角部分一列列变成0,从而最终变换成一个上三角矩阵
需要注意的是,在一列列的消元过程中,我们需保证,所以需要利用行互换来保证此条件
当然这一切消元过程的前提是,矩阵A应该是非奇异的
经过n-1次的Gauss消元,我们可以得到一个上三角矩阵
在回代过程中,由于我们得到了一个上三角矩阵,那么就可以从最底行开始逐步解出x
Gauss消元法的复杂度是,高阶状态下比起克拉默法则运算量要小得多
Gauss消元法过程中,在对各列进行消元的时候,如果主元比较小的话,运算的结果会产生较大的误差,故引入Gauss列主元消元法,即在每一次利用主元消元的步骤之前,把该列中绝对值最大的数所在的行与主元所在的行进行交换
4.三角分解法
我们利用Gauss变换矩阵对Gauss消元法进行进一步的分析
故
由此引出矩阵的LU分解,又称Doolittle分解
这里再介绍一下Crout分解,即A=LU中的L是一个下三角矩阵,U是单位上三角矩阵
注意到某些特殊矩阵的三角分解也是比较特殊的,这里引入一类带状对角形矩阵
上半带宽为s,下半带宽为r,存在LU分解,其中L是下半带宽为r的单位下三角矩阵,U是上半带宽为s的上三角矩阵
对于r=s=1的这一类更加特殊的矩阵,称为三对角矩阵,对于此类矩阵的三角分解,介绍一种“追赶法”
首先做Crout分解
然后分两步解决此类问题
追:解
赶:解
注意到正定对称矩阵的三角分解也是特殊的,这里引入Cholesky分解
首先利用Doolittle分解,得,对U进一步提取对角矩阵,从而有
故,,由于A对称正定,,所以有
由于分解的唯一性,可知,从而有
我们可以记,,从而
此种分解手段称为Cholesky分解,限定对角元素为正,此类分解唯一
上述的Cholesky分解中涉及了开方的运算,下面介绍一种改进的平方根法
易知,,则
先解,后解,其中D的逆只需要将对角元素取倒数即可
5.向量和矩阵的范数
范数是比长度更为一般的概念,有了范数就可以更好的去测度误差的大小
关于向量范数
对于非负正定,当仅当x=0,有N(x)=0,否则N(x)> 0;
对于齐次性,有
对于三角不等式,有
这里介绍几种常见的向量范数
- 向量中的元素的绝对值之和
- 向量中的元素的绝对值的平方加起来然后开方
- 向量元素中的最大绝对值(使用Cauchy-Schwarz不等式证明三角不等式)
- 向量中的元素的绝对值的p次方加起来然后开p次方根(利用赫尔德不等式即可证明三角不等式)
在最优化理论中可能会涉及加权范数,A为对称正定矩阵,是一种向量范数,记为
在无限维线性空间中,比如在[a,b]区间中,对于所有的实连续函数集合C[a,b],对于其中的一个元素f(x)也是有类似定义的范数
- 1范数
- p范数
- ∞范数
下面介绍一下范数的等价性
对于任意两个定义好的范数,存在两个与向量x无关的非零正常数c1,c2,有
称两个范数等价
不难验证,此处的等价性满足数学定义中的等价性的三个条件,即自反,对称,传递
关于矩阵范数
矩阵范数不仅仅满足非负正定,齐次和三角不等式,而且须满足矩阵相乘的相容性,即
这里给出一类特殊的范数, Frobenius范数
对于上面的任意一种向量诱导范数,都有
这里给出一种范数的定义,即诱导矩阵范数,诱导矩阵范数和向量范数密切相关
定义:设在两个向量空间中存在向量范数, 定义在空间上的矩阵A的由向量范数 诱导所给出的矩阵范数为(其中x不为零向量)
我们为了解决这个最大值的问题,继续等价定义来优化这个问题
其中第一个max条件为x不为零向量,第二个max条件为
我们利用诱导范数的定义可以从原来的向量范数中诱导出三种范数,分别是
1范数:对矩阵的每一列中的元素取绝对值之后求和,然后选取其中的最大列作为1范数
2范数:矩阵的最大奇异值,也就是矩阵与矩阵的转置的乘积的最大特征值
无穷范数:对于矩阵的每一行的元素取绝对值之后求和,然后选取其中的最大行作为无穷范数
关于矩阵的应用,这里引入一个Banach引理
设矩阵A属于n*m的复矩阵空间,对于该空间上的某种矩阵范数,有,则矩阵非奇异,且有
给出矩阵谱半径的定义
矩阵的谱半径为矩阵的最大特征值,关于矩阵的谱半径,它不超过其任意一种矩阵范数(当矩阵是Hermite矩阵时,矩阵的2范数恰好等于矩阵的谱半径)
继续给出线性方程组中条件数的定义
在某一矩阵空间中,对于某一矩阵范数,矩阵的条件数=矩阵的范数×矩阵的逆的范数,即
对于矩阵的条件数来说,它显然大于等于1,当矩阵恰好是正交矩阵的时候,矩阵的条件数恰好等于1
当矩阵为对称阵,对应的矩阵范数为2范数的时候,此时的条件数称之为谱条件数,其值等于最大特征值除以最小特征值,然后取绝对值
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