解密大数据课程作业-正态分布的应用

作业思路

习题1：投掷N枚硬币，正面出现57次，尝试通过计算回答，假设N=100枚，要舍弃还是接受？
tips：投掷N枚硬币的数据近似于均值为N/2，S.D.为sqrt(N)/2的正态分布。

假设95%的置信区间是可接受的，若57被包含在该区间中，则接受，否则舍弃
μ=N/2=50，σ=sqrt(N)/2=5
代入方程 1.96 ≤ (X - μ)/ σ ≤ +1.96，解方程得95%的置信区间。

习题2：随机抽样30个GRE成绩，平均分数为1082分，标准差为108分，决定下列参数的95%和99%置信区间。
1）总体均值
2）总体标准差

刚开始看到题目，我也有点发蒙，均值和标准差不是已经知道了么，还要怎么求呢？google了一会，才明白已知的均值和标准差只是局部的，基于当前抽样的，不能等同于总体的。现在是要从局部推导总体，把总体均值和总体标准差都看做是变量，求它们的95%和99%的置信区间。

我们都知道，如果X服从正态分布，则有1.96 ≤ (X - μ)/ σ ≤ +1.96 的区间概率为95%。

• 求总体均值的置信区间
  问题转化为，求出总体均值的均值，总体均值的标准差，代入上述方程，便可获得总体均值的95%置信区间。

设μ_μ为该总体均值的均值，σ_μ为总体均值的标准差，这两个值怎么求呢？
μ_μ用抽样得出的均值代替。作业中的抽样均值为1082.

根据总体平均数的估计中的公式，σ_μ的求法分为两种情况：

1. 当总体标准差σ已知时，σ_μ=σ/sqrt(N)
2. 当总体标准差σ未知时，无偏估计：σ_μ=S/sqrt(N)，有偏估计：σ_μ=S/sqrt(N-1)。S为样本的标准差。

作业中的总体标准差未知，采用有偏估计σ_μ=S/sqrt(N-1)=108/sqrt(30-1)

代入前面的方程

-1.96 ≤ (X - 1082)/ (108/sqrt(30-1) )≤ 1.96 ，解方程得95%置信区间

同理，求总体均值99%的置信区间，解方程
2.576 ≤ (X - 1082)/ (108/sqrt(30-1) )≤ 2.576

• 求总体标准差的置信区间
  问题转化为，求出总体标准差的均值，总体标准差的标准差，代入上述方程
  设μ_σ为总体标准差的均值，σ_σ为总体标准差的标准差，这两个值怎么求呢？
  根据 标准差与方差的区间估计 ,当样本容量n>30时，样本标准差的分布渐近正态分布，
  由该文中的公式可知：
  μ_σ=抽样的标准差。作业中的抽样标准差为108。
  σ_σ=S/sqrt(2N)，S为抽样标准差即108.

代入得方程
-1.96 ≤ (X - 108)/ (108/sqrt(2*30) )≤ 1.96 ，解方程得95%的置信区间置信区间

-2.576 ≤ (X - 108)/ (108/sqrt(2*30) )≤ 1.96，解方程得99%的置信区间置信区间为

还有一种方法是求方差的置信区间，再开平方，用的是卡方分布。具体见 标准差与方差的区间估计 。

1.以上解法，是基于一定的前提:若分布X服从正态分布，则其均值和标准差也服从正态分布。否则应该是不能这样做的。
2.根据标准差与方差的区间估计,在总体方差未知时，样本平均数的分布为t分布，所以应该要查t值表。
但我不知道如果已知总体分布是正态分布，是不是可以用正态表的值比如1.96？
3.两个参数为什么可以用这样的公式求得，我也不清楚，暂且理解为用一系列数学公式推导出来的，统计学还得继续看……

写完才看到石头同学的作业，推导专业多了。看了小密圈里其他同学的作业，我的总体标准差的区间和大家的出入比较大，同学们是先通过卡方分布求总体方差，再求标准差。但我看到标准差与方差的区间估计中的 例1也是这样求的，是做法的不同，还是我的理解是错误的？

用ipython 求方程的解

import sympy #导入sympy库，用于数学计算

x = sympy.Symbol('x') #将x转换成符号，才能用在后面的方程中

sympy.solve(x * 2 - 4, x) #以一个简单线性方程为例，第一个参数为要解的方程，要求右端等于0，第二个参数为要解的未知数。解为2。

[2]

习题1：求解方程1.96 ≤ (X - μ)/ σ ≤ +1.96，μ=N/2=50，σ=sqrt(N)/2=5

sympy.solve((x - 50)/5+1.96,x)

[40.2000000000000]

sympy.solve((x - 50)/5-1.96,x)

[59.8000000000000]

置信区间为[40.2,59.80]，所以57是可以接受的

习题2:求总体均值的95%置信区间

sympy.solve((x - 1082)/ (108/(30-1)**0.5)+1.96,x) #求总体均值95%的置信区间

[1042.69201081468]

sympy.solve((x - 1082)/ (108/(30-1)**0.5)-1.96,x)

[1121.30798918532]

置信区间为[1042.69,1121.3]

习题2:求总体均值的99%置信区间

sympy.solve((x - 1082)/ (108/(30-1)**0.5)+2.576,x)

[1030.33807135644]

sympy.solve((x - 1082)/ (108/(30-1)**0.5)-2.576,x)

[1133.66192864356]

置信区间为[1030.33,1133.66]

习题2:求总体标准差的95%置信区间

sympy.solve((x - 108)/ (108/(2*30)**0.5)+1.96,x)

[80.6722295091604]

sympy.solve((x - 108)/ (108/(2*30)**0.5)-1.96,x)

[135.327770490839]

置信区间为[80.67,135.32]

习题2:求总体标准差的99%置信区间

sympy.solve((x - 108)/ (108/(2*30)**0.5)+2.576,x)

[72.0835016406109]

sympy.solve((x - 108)/ (108/(2*30)**0.5)-2.576,x)

[143.916498359389]

置信区间为 [72.08,143.91]