逐点收敛 pointwise convergence
对于一族函数 ,如果,则称 pointwisely。
一致收敛 uniform convergence
对于一族函数 ,如果,则称 uniformly。
差别
逐点收敛时和都有关。一致收敛时,要对任意的都成立,只和有关。如果是连续函数,也得是连续的。一个经典的反例是。当,极限是个分段函数:
这一族函数只有逐点收敛,没有一致收敛。
逐点收敛的证明
我们来证明收敛到(1)中的。要点是找到一个满足收敛不等式的大N。
0和1都很好证明,两者之差是0,肯定小于任意。
那么就来看当,。
那么只要,就能满足逐点收敛的条件了。
一致收敛的证明
我们现在来关注这样一个函数:,证明它们一致收敛到。要点是找到,然后找到这个对应的大N,只要有N满足这个的收敛条件,那么其他差距比它小的位置肯定也满足了收敛条件。
通过求导,我们发现在上取到极值,通过找其他位置的导数判断符号,我们发现上取到的最小值,有的最大值。这两个点到0的差距绝对值一样都是。满足的大N需要。这样的大N对于其他位置的x也满足收敛条件,因此一致收敛于0。
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