美文网首页@IT·互联网计算机科学
计算机中,设计补码的思维方式与原理

计算机中,设计补码的思维方式与原理

作者: 失落的艺术 | 来源:发表于2021-06-14 16:51 被阅读0次

    1.补码的由来

    因为计算机是由其电路的接通与关闭来控制的,也只能用0和1来分别表示开和关。所有人们设计出了二进制,顾名思义,逢二进一。

    但当人们想表示负数的时候,有人提出,其数字的机器码前面多用一位来标记符号,0代表正数,1代表负数,这样对人们很友好。

    但新的问题又出现了,比如当计算机求两个数的加减法运算时,两个正数相加可以计算,但当两个正数相减时,计算机却不那么地好计算了,为什么?因为两个数相减时,还的比较绝对值的大小,然后大数减去小数,最后计算出结果后,计算机还的给结果一个符号,是正的还是负的?这时,它就不知道该怎么办了?

    2.提出补码的思维过程

    后来有人提出这样一个想法。他这个想法我们很好理解,就是通过家里面的圆形钟表得来的。

    比如现在5点钟了,他的表钟现在是7点钟,该怎么调?他发现用两种方式都行,第一种是逆时针旋转2格到5点,还有一种是顺时针旋转10格到达5点,由于他一直喜欢顺时针(时间通过秒针、分钟、时针的顺时针旋转而增加),因为一圈刚刚有12格,顺时针旋转过的角度加上逆时针旋转过的角度刚好等于360度,也就是12格,这是不变的。

    他想到计算机也可以这样工作,他欣喜若狂,因为减法(逆时针)可以相当于加法了(顺时针),只不过他们的超过了的一圈还是个问题,不过有了这个想法了,就可以先试试,等到具体要解决时再考虑也不迟。

    好了,这个想法应该可行,说干就干,开始设计。

    他为了表示方便,把顺时针旋转的格数叫做逆时针旋转格数的补数。同理,在计算机中,所有的数字都是0和1,那用0和1表示的数字就叫做机器码,在这里的机器码就叫做补码了。

    有了补码,他就能让计算机相减了,哈哈,终于大功告成了。以后再让计算机算诸如:y = 3-5的减法等式,他反手先算-5的补码,相当于y = 3 + [-5],式中的[-5]就是-5的补码。那[-5](-5的补码)这个是多少呢?计算机当然不知道了,那的看那个“表盘”有多少格,就比如上面那个例子,表盘12格,“-2”(逆时针旋转2格)的补码是“+10”(顺时针旋转10格)。

    他拿十进制类比,0~9,10进制一圈是10格,逢十进一;

    拿十六进制的话就是0x0000~0xffff(0~15),十六进制是16格,逢十六进一;

    那,二进制的话,就是逢二进一(这是1位的前提)

    好了,那现在规定计算机中,用一个字节(8位)来存放数字,那么如果换算成数字,这个“表盘”一圈是多大呢,是2的8次方 = 256格。

    那现在,他可以毫不犹豫的说:-5的补码是[-5],即:

    [-5] = 256-5=251

    那如果要算:

    y = 3-5呢?

    他就这样算:

    y = 3+[-5] = 3 + 251 = 254

    等等,我们晕了,怎么 y = 3-5明明等于-2,他为什么算出的答案等于254?

    聪明的你发现了,没错,就是254。-2的补码[-2]就是254,在计算机中,所有计算的数字都是按照补码形式参与运算的,只不过,正数的补码还是它本身罢了。

    你恍然大悟,但依然若有所思,

    等等,那照他说,计算机计算y = 3-5 是按照:

    y = 3-5 = 3+[-5] = 3 +(256-5)

    这个等式计算的话,本来我们就是为了消除减法而提出补码的,怎么计算-5的补码[-5]时候,我们又用了减法 ,那不就是自相矛盾了吗?

    能看到这一点,说明你已经理解了99%了,离成功就差一步了,

    别慌,你仔细看(256-5)是个什么东西?

    3.反码的提出

    其实反码是计算补码的一个中间产物,是一个对于我们人来说多余的东西。

    它专门为计算机计算补码提出的,我们有异常发达的大脑的人类当然不需要这玩意,为什么?请看下列:

    在计算机中:
    256表示:1 0 0 0 0 0 0 0 0 (1后面8个0,总共9位)
    5表示: 0 0 0 0 0 1 0 1 (总共8位)

    记住,我们是用8位存放数字的,怎么256超过9位了,这不行,这好想:“既然计算机不能表示256,那我就让计算机把256减去1后(我们头脑中的思维过程),刚好是255即1 1 1 1 1 1 1 1(8个1),让计算机用这8个1不就可以存储了吗吗?”。

    然后就变成了下面这样的了:
    1\space1\space1\space1\space1\space1\space1\space1(8个1)
    然后他拿这8个1减去5的机器码,即:

    \begin{aligned} &\space\space\space\space\space1\space1\space1\space1\space1\space1\space1\space1 (255)\\ &-0\space0\space0\space0\space0\space1\space0\space1 (5)\\ &\hline\space\space\space\space\space1\space1\space1\space1\space1\space0\space1\space 0(250) \end{aligned}

    那计算机计算这个就太容易了。按照我们小学生思维水平,上面减去下面就行了,但计算机发现,这就是一个取反位运算,马上就能计算出这个减法了。

    这一思维的灵感是我想了一天后,在晚上爬到床上突然获得的,我一直再想为什么通过反码,然后加1就可以直接得到补码,原理是什么?大致过程是这样的:正好被减数都是1的话,减数加上它自己的每一位对应的取反,刚好对应相加就都是1了,相当于把原来那个数的所有0位置都填充上了1,换个角度说,这个刚好差1就是一圈了,这时,不就刚好相当于表盘逆时针和顺时针旋转格数相加,刚好等于一圈了吗?补码的原理不就是一圈一分为二,互为补数,这样才有了反码的,是不是很给力,请看下图的上下每一位,都有一个1,分别相加后,那不就是全部一圈差1吗

    \boxed{ \begin{aligned} &\space\space\space\space\space\space1\space1\space1\space1\space1\space0\space1\space 0(250)\\ &+\space0\space0\space0\space0\space0\space1\space0\space1 (5)\\ &\hline\space\space\space\space\space\space1\space1\space1\space1\space1\space1\space1\space1 (255)\\ \end{aligned} }

    到这一步时,我们就计算出了(256-5)?,聪明的你已经发现了,是(255-5)而不是(256-5),因为刚才计算机不能表示256我们作出的妥协(我们人不需要,因为大脑多大的数字都能想到),现在我们再次把刚才减去的1加上就和原来的式子相等了,即:

    (256-5)= [(256-1)-5]+ 1

    到这一步,我们终于让计算机把这个-5的补码[-5]表示出来了(计算出来了),我们不妨回过头来总结一下,哦,我们发现,以后经常操作(256-1)-5这一步,我们给这一步叫做计算机求反码的过程,而计算的结果就叫做反码

    最后,我们发现让这个相反数+1就是我们求得的这个负数的补码。

    4.数学结论(敲黑板)

    老师说,记住了,求补码就是负数的符号位不变,其余的位数取反,然后加1。

    其实,老师得出的结论是根据补码在数学上的定义得出的口诀,就像奇变偶不变,符号看象限一样的口诀。真正的数学公式如下:
    [x]_{\mathrm{补}}=\left\{\begin{array}{cl} x & (\text { 当 } x \text { 为正数 }) \\ 2^{n}-x & (\text { 当 } x \text { 为负数 }) \end{array}\right.

    如果我们把刚才求反码的过程也加上去,就是这样的:
    [x]_{\mathrm{补}}=\left\{\begin{array}{cl} x & (\text { 当 } x \text { 为正数 }) \\ [(2^{n}-1)-x] + 1 & (\text { 当 } x \text { 为负数 }) \end{array}\right.


    整篇文章,为了讲清楚这个补码的思维原理,码字时间就花费了3个多小时,很辛苦,如果对你有帮助,能否点个赞鼓励一下再离开。俗话说,往往点赞的人,运气永远不会错到哪里的。

    相关文章

      网友评论

        本文标题:计算机中,设计补码的思维方式与原理

        本文链接:https://www.haomeiwen.com/subject/omqoeltx.html