法线、法平面、切线、切平面的字面意思

2021.03.26 Friday @BJ

今天给学生们讲多元微积分的应用，准备了一个思考题：

从”切线、切平面”和”法线、法平面” 的字面意思，能看出它们的求法吗？

这个问题涉及到“法”和“切”的本意，我不是很确定它们的来历，但可以做出几个猜测。知乎上有类似的问题：法线为什么叫法线？

首先关于“切 *”，相对好理解，tangent *，可以看做刚好接近的意思。

关于“法*”，英文是 normal *，本意是：规范，正规，正常，标准。像师范大学的英文叫做 normal universal，这是用的 normal 的本意。但 normal 后来衍生出了“正交的，垂直的”意思，我猜这个叫法的起源与范数(norm)以及求导的思想是相关的，理由如下：

当人们考察的对象从一个数变成多个数（即向量）时，自然希望有一个数来刻画这个向量，最容易想到的就是向量的长度，而长度相同的向量得到球面。球心到球面上一点的向量刚好与球面垂直，这就自然引入了垂直的概念。而 norm 和 normal 两个词就都派上了用场，norm 表示向量长度（范数，或模），normal 表示垂直，两者通过求梯度可以关联到一起。

为什么 normal * 会被翻译成 “法 *” 呢？一方面可以从 normal 的本意，表示为标准，视为动词的话，可以对应到法律、法令，所以翻译成了 “法 *”。另一方面，normal 所指的“标准”，也可以看做一种存在性，即存在一个“标准”的东西，像“人法地，地法天，天法道，道法自然”，都是在强调这一点。

以上观点没有经过词源考证，仅供参考！