弦论小女孩的弦论课|第十六课|相对论性点粒子

今天上课，老师讲相对论性点粒子

“我们使用作用量原理描述相对论性点粒子。我们用来描述这个点粒子的运动轨迹。其中是类时坐标(i.e. )。 是类空坐标。我们用来参数化粒子的世界线。

无穷小长度单元由如下所示的度规来描述

所以相对论性点粒子的作用量是

现在，我们来确定这个系数 。

一个自由非相对论粒子的作用量是

从相对论性点粒子的作用量出发，我们可以写出

把第二项和进行比较，我们得出\alpha必须是粒子的质量。

所以，相对论性点粒子的作用量是

$S = - m \int \sqrt{- \eta_{\mu\nu} dX^\mu dX^\nu }

= - m \int d\tau \sqrt{- \eta_{\mu\nu} \dot X^\mu \dot X^\nu } ~.$

以上的作用量存在两个问题：

1. 考虑质量为0的粒子，上面的作用量。那就没有作用量可以变分了。

2. 这个作用量量子化并不容易，因为作用量带有平方根。

这启发我们引入一个auxiliary field。我们记作。考虑如下拉式量：

对上述作用量进行变分，我们有

变分原理告诉我们，这意味着如下的运动方程

从这个运动方程出发可以得到auxiliary field的方程

和是等价的。把上面的的方程代入就可以证明了。

”

思思听着听着又睡着了。她见到了弦论小女孩。

思思问：”老师怎么说粒子走过的轨迹是世界线？我怎么没看到线？“

弦论小女孩二话不说给了思思一副”时间换维眼镜“。

思思拿来戴上一看，果然，周围的粒子都变成了一条一条的线。

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思思在课堂中醒过来了。

”思思，你怎么又睡着了？“老师问，”你来回答这个问题，点粒子运动的轨迹叫什么？“

思思说：”世界线。“

在老师和同学惊异的目光中，思思逃过了第十六劫。