拉普拉斯矩阵

作者: 四碗饭儿 | 来源:发表于2021-01-16 07:44 被阅读0次

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给定无向图 $G$ ，定义它的拉普拉斯矩阵为

$L(G) = D - A$

其中 $D$ 是一个对角阵， $D_{ii}$ 是下标为 $i$ 的顶点的所有边的全重之和。 $A$ 是加权邻接矩阵。注意到 $A$ 是对称的， $D$ 也是对称的。

拉普拉斯矩阵的二次型（Quadratic Form）为

$x^TL_Gx= - \sum_{(i,j) \in E（G）}2*a_{ij}x_ix_j + \sum_{i} (\sum_{j}a_{ij})x_i^2$

因为 $\sum_i\sum_{j\neq i} a_{ij}x_i^2 = \sum_{(i,j) \in E(G)}2a_{ij}x_i^2$

且 $a_{ij} = a_{ji}$

所以 $x^TL_Gx = \sum_{(i,j)\in E(G)}a_{ij}(x_i - x_j)^2$

因而，对于无向加权图来说，拉普拉斯矩阵是半正定的。

对于有向图来说，邻接矩阵不一定对称，上述证明不成立。

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