上一篇讲述了思考的方向，这让我们在面对数学问题的时候，有了很好的思考的切入点，能够在很大程度上帮助我们解决问题。往往能够做出数学题是孩子们在学数学时的最终目的，不过对于思考模式学数学的孩子而言，学数学则有着更多的目的和更美的结果，这个更美的结果就是规律。
案例一：乘法小九九
无论是用人教版的教材、还是北师大版、苏教版等，学校里教的乘法小九九都是以加法算式作为引入，以熟练背诵小九九并应用作为结束的。可以说，这种学习方法和目标导向，最终使得乘法小九九仅仅沦为乘法计算和乘法口算的一个工具。
其实这种学习就为将来十多年的记忆模式或模仿模式学数学奠定了基调。接下来说一下我们对乘法的想法，以及关于乘法究竟能发现哪些规律。
无论是按照课本从加法算式入手认识乘法、还是从生活实际入手认识乘法，孩子了解之后就都可以进行乘法的计算了，于是开始尝试计算，这里以“×4”为例：
1×4＝4
2×4＝8
3×4＝12
4×4＝16
5×4＝20
6×4＝24
……
规律1：乘积之间差相等（等差数列）
8比4多4、12比8多4、16比8多4，这是多么美的规律，但可能就由老师直接告诉给孩子了，这个规律的原因也是非常简单，多加一个4，结果肯定会多4。
但别小看这个规律，一个是因为数学中存在着太多等差的规律，另一个是因为这个规律能解决更难的问题。
比如11×9，我们的孩子可能要学会列乘法竖式的时候才会做，但其实不用，因为知道了9×9＝81之后，11×9无非就是81加上9再加上9，就是99，就靠这个规律完全可以做出来的！
规律2：乘法分配律
一个乘数4不变，另一个乘数多几，乘积就多了几个4，这不就正是乘法分配律吗？把乘法转化成加法也就非常好理解了。
规律3：×10的规律
把算式再多试些，试到10×4＝40之后，就能发现这个非常美的算式了，10个4相加居然就是40，再试试10个3相加、10个2相加、10个5相加，分别是30、20、50（试10个5相加的过程还能有其它规律发现），这个规律的发现足以让孩子兴奋起来。而原因也不难理解，因为10×4不仅可以是10个4相加，还可以是4个10相加。
规律4：无论多少乘以4，乘积个位都只能是双数
孩子稍微观察下，这个规律也完全可能被发现。其实还可以有更惊人的发现：乘积个位是0、4、8的时候，十位都是偶数；乘积个位是2、6的时候，十位都是奇数。而这个规律足以当做4的整除特征了！（笔者在小学时发现的规律，至今记忆犹新）
比如8×4＝32，乘积个位是2，十位是奇数3。
比如11×4＝44，乘积个位是4，十位是偶数4。
怎么试，4的倍数都符合这个规律。
我们教孩子往往都直接告诉孩子：4的整除特征是末两位能被4整除。殊不知一个两位数，也能不通过试除，就判断出是否为4的倍数！更不知孩子本身就有能够发现整除特征的能力啊！
规律5：乘法交换律
笔者上学的时候还有“被乘数”和“乘数”的区分，这让乘法交换律有了非常重要的意义。现在没了，3×4和4×3表达的是一样的了，这个规律也就相当于老师直接告诉了。但让我们摸不清头脑的是：3×4和4×3已经是同一个事了，乘法交换律还有什么存在的意义呢？为什么到了四年级又要学一遍？这件事情让我们觉得很不合逻辑。
如果仍存在“被乘数”和“乘数”的区分，那么乘法交换律的发现将是特别的美好，而且这种相等的规律是很容易发现的，比如算一下3×4、又算一下4×3，真的一样，这其实意味着3个4相加与4个3相加和一样，多么美好的发现啊。
还有各种各样可能发现的一般的或是特殊的规律，当然这些孩子们可能都体会不到了，因为规律都是由老师直接告诉的，他们很难给孩子探索的鼓励和引导甚至是连探索的机会都不给。最后学习的乘法小九九依旧只是计算工具。
案例二：鸡兔同笼，一共有25个头，有64条腿，问鸡和兔各多少只。
这道题目是一道最基础的鸡兔同笼问题，每个奥数老师几乎都会有好几种办法来解决。不过孩子一旦用记忆或模仿的办法来做这道题，那么收获的也仅仅是问题的答案和做题的经验，那么如果用思考模式来学，会有什么结果呢？
我们就采用上一讲“实践”的方法来入手思考这道题，以“一共25个头”为尝试点，进行逐次尝试：
若鸡有1只，那么兔子有24只，则腿共有98条，矛盾；
若鸡有2只，那么兔子有23只，则腿共有96条，矛盾；
若鸡有3只，那么兔子有22只，则腿共有94条，矛盾。
我们试了三次，虽然都离64条腿偏差太远，却能够容易发现一个规律：鸡每多1只，腿数就少2。为了避免是巧合，再实验两个：
若鸡有4只，那么兔子有21只，则腿共有92条，比94少2；
若鸡有5只，那么兔子有20只，则腿共有90条，比92少2。
这说明发现的规律是很可靠的，那么鸡的只数每多1，总腿数就少2。而64比90少了26，也就是少了13个2，鸡就应该再多13只，于是鸡的只数就是13＋5＝18。
把所想规律列出综合算式就是：（90－64）÷2＋5＝18。如果觉得＋5太别扭，就可以再调整，若最初尝试没有鸡，后面的＋5也就没有了。
于是尝试：
若鸡有0只，那么兔子有25只，则腿共有100条，也刚好比98多2，规律还存在。
此时算式就变为：（100－64）÷2＝18，求出来也是鸡的只数。
这时可以再思考一步：为什么鸡的只数多1，腿数就要减2呢？其实这个不难想到，是因为：多1只鸡，多2条腿，但同时少1只兔，又少了4条腿，合起来是少了2条腿的。
这样这道鸡兔同笼题的思考就可以告一段落了，期间我们经历了：尝试、发现规律、验证规律、解决问题、想出规律的原因这样5个阶段。而这5个阶段之后还能得到一个大规律，就是得到这类问题的一个经典公式：鸡只数＝（4倍头数－腿数）÷（4－2）。
可以说，从推理的角度，鸡兔同笼的假设法是一个非常难想出来的办法，几乎所有的老师和孩子都难以靠自己来想出这个经典的做法，这主要还是因为记忆和模仿占据了我们学数学的过程。如果我们在数学学习中充满思考，引导孩子会“实践”思考，鼓励孩子自己发现规律，我们发现这个假设法其实自己想出来也是可以的。
案例三：3年级孩子发现平方差公式
这个案例可以分为三个阶段。
1、有所发现
健康数学设计的讲义里有一道这样的题：观察下图中各个点群，第10个点群比第9个点群多了______个点。
3年级的小朋友，用“10×10－9×9”算得答案是19之后，说了一句话：“哎，19正好是10加9啊”。
我就说：“这是巧合吗？”（讲这道题时听到孩子说这句话，我很高兴，证明孩子喜欢去观察发现。数学中能有各种发现，有的是巧合，有的是规律，所以我问了这句话，想看孩子如何应对。）
孩子自己开始尝试9×9－8×8，发现17就等于9＋8；又尝试8×8－7×7，发现15就等于8＋7，然后很自信得说：“不是巧合”。
严谨的说，3次的尝试也不能说明不是巧合，但是对于3年级的孩子而言知道尝试3次已经很不错了。
2、了解原因
紧接着我给他出了道题：“100×100－99×99”，看一下他是否知道使用这个规律。他很快就知道用100＋99来算得答案是199，这证明他可以把这条自己总结的规律进行应用了。
接下来我问：“你能想出来为什么会有这个规律吗？”
他进入思考，但最终没有想出来。于是我出题：6×6－5×6。
他通过计算算得等于6之后，我就问：“这道题非要用乘法来算吗？”
在我提示他“学校里最初学乘法是用加法理解的时候”之后，他就明白了6×6可以理解为比5×6多加了一个6，又经过几个例子后他就能够用算式推理明白10×10－9×9为什么可以等于10＋9了。
3、发现平方差公式
我这时想到一个问题，他很可能会将规律误用，于是我出了道题：11×11－9×9。
不出我所料，他很快就说等于20，我让他用乘法算一遍，他最后发现结果是40，也就是用错了。
但出乎我意料的事情又出现了，他说：“40是20的两倍，而11－9就是2啊”。我本来想让他长教训，发现的规律不能乱用，结果他又有了新发现。
这时我又说：“那这次是巧合吗？”
他又自己试了12×12－10×10和13×13－11×11后说道：“不是巧合”。
至此，我觉得时机成熟了，跟他说：“是否巧合不仅仅是这个2倍的规律，而是乘数差2就乘2，那差3、差4呢？”
于是，他开始自己尝试，试几个之后他发现都没问题，其实这就完全掌握了平方差公式的规律。
最后给他随便出道题：“27×27－24×24”，他直接写上：“=（27＋24）×3”。
我在最后告诉他，你发现的这个规律，奥数课上一般五年级或六年级才会教，学校里初中才会学到。我们相信他通过这段思考能够获得更多的乐趣、自信和成就感。我也通过这件事更加坚定了我们的授课理念和授课风格：千万不要束缚孩子的独立思考、一定要以孩子为课堂的主体。
我建议他把发现的规律记录下来，因为笔者自己在做题过程中也有过很多的发现，不过大多因为没有记录下来而遗忘在历史长河中，包括通过一道别人问我的普林斯顿题独自想出来“欧拉函数”的规律，不过那是一道什么样的题目我一点都不记得了。
我觉得，第二阶段（了解原因）的意义不是太大，这个环节的出现更多是出于让孩子知道“规律都是有原因的”。如果孩子自己去想规律存在的原因，可能我就不会去引导告诉他究竟原因是什么了，因为独自探索原因可能比独自发现规律更有乐趣。
这三个案例依次代表了：课内数学发现规律、课外数学发现规律、数学思考课上孩子发现规律。我们一直认为：数学的乐趣在于探索问题的过程，数学的成就感在于发现规律，而数学的能力往小了说就是探索问题和发现规律的能力。
至此，若把思考模式比作一棵大树，那么树根（逻辑）、树干（思考）、树枝（实践）、树叶（规律）就都齐全了。可以说，树叶虽然最美，但对于一棵大树而言，却是最可有可无的，即使把一棵树的树叶全部摘下，它依旧可以再次长满。
这和数学实在太像了，数学中，各种公式、方法、技巧等规律都是最可有可无的，因为即使这些都没有，通过逻辑、思考、实践，依旧可以得到各种各样的规律，甚至发现的规律和已有的这些可能会很不一样。
但我们的数学教育，往往忽视了树根、禁锢了树干、砍断了树枝。我们可以清楚的发现：我们的数学教育就相当于只把树叶摘下，一片片告诉你这些树叶的样子，可能还会跟你说看这片叶子多么美。这种情况下，孩子们怎么可能认清楚数学的样子，怎么可能具备数学的能力，怎么可能领会数学的文化，怎么可能从数学的学习中获取追求、发现、验证真理的钥匙。
关于思考模式学习数学的架构就介绍完了，而思考模式不仅有具体的架构，思考有着自己的基因，或者说我们每个人都有着思考的基因，敬请期待本刊下一篇《思考模式的基因》。
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