特殊级数求和

作者: 赫尔特 | 来源:发表于2019-07-27 21:34 被阅读2次

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1.设f(x)是周期为2π的周期函数，它在 $[-π,π)$ 上的表达式为 $f(x)=|x|$ ，则将f(x)展开成傅里叶级数得

$f(x)= {\pi\over2}-{4\over\pi}\sum_{k=1}^\infty{1\over{(2k-1)^2}}cos(2k-1)x$
$(-\infty<x<+\infty)$

令x=0得 $\sum_{k=1}^\infty{1\over{(2k-1)^2}}={\pi^2\over8}$

$即S_2=1+{1\over3^2}+{1\over5^2}+...={\pi^2\over8}$

$设S_1=1+{1\over2^2}+{1\over3^2}+...,$

$S_3={1\over2^2}+{1\over4^2}+{1\over6^2}...,$

$S_4=1-{1\over2^2}+{1\over3^2}-{1\over4^2}+....$

因为 $S_3={S_1\over4}={{(S_2+S_3)}\over4},$
所以 $S_3={S_2\over3}={\pi^2\over24},$
$S_1=S_2+S_3={\pi^2\over6},$
$S_4=S_1-2S_3={\pi^2\over12}.$

又由 $2\sum_{k=1}^\infty{1\over{[{(2k-1)\pi\over2}]^2}}={8\over\pi^2}S_2=1$

而

$\pm{(2k-1)\pi\over2}恰为cosx=0的零点，即$
${}$

$cosx=0的所有零点的倒数的平方和为1.$

${}$
2.设f(x)在 $[-π,π)$ 上的表达式为 $f(x)=\left\{ \begin{aligned} & 1 , \ \ x\in[-\pi,0) \\ & 0,\ \ x\in[0,\pi) \\ \end{aligned} \right.$
则将f(x)展开成傅里叶级数得
$f(x)={1\over2}-{2\over\pi}(sinx+{sin3x\over3}+{sin5x\over5}+...)$

$x\in[-\pi,\pi)$

令 $x={\pi\over2}$

得
$1-{1\over3}+{1\over5}-{1\over7}+...={\pi\over4}$

3.
$1-{1\over2}+{1\over3}-{1\over4}+{1\over5}-...=ln2$
${}$

$证明：设S_1=1+{1\over2}+{1\over3}+{1\over4}+...{1\over2n}$
${}$

$S_2={1\over2}+{1\over4}+{1\over6}+...+{1\over2n}$
${}$

则 $1-{1\over2}+{1\over3}-{1\over4}+{1\over5}-...+{1\over2n-1}-{1\over2n}=S_1-2S_2$
${}$
${}$
$={1\over n+1}+{1\over n+2}+...{1\over 2n}={1\over n}({1\over1+{1\over n}}+{1\over1+{2\over n}}+...+{1\over1+{n\over n}})=\int_0^1{1\over1+x}$

${}$
$=ln(1+x)|_0^1=ln2\ \ \ (n\rightarrow+\infty)$
${}$
$1-{1\over2}+{1\over3}-{1\over4}+{1\over5}-...-{1\over2n}+ {1\over2n+1}=ln2+0=ln2\ \ \ (n\rightarrow+\infty)$

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