2018-04-27 开胃学习数学系列 - PDE

在金融领域，我们遇到的大多数偏微分方程（PDE）都是这种形式：

它可以分为三类：双曲线，抛物线和椭圆
一般来说，不同类型的方程式在解决方案的行为方式上有很大的不同，如何更有效地解决这些问题?

Hyperbolic

b2(x,t)−a(x,t)c(x,t)>0

The canonical form:

• Mostly referred to as the Wave equation 波动方程
• 波动方程是双曲形偏微分方程的最典型代表，其最简形式可表示为：关于位置x和时间t的标量函数u（代表各点偏离平衡位置的距离）满足上面的表达式。这里c通常是一个固定常数，代表波的传播速率。

Parabolic

b2(x,t)−a(x,t)c(x,t)=0

The canonical form:

• Mostly referred to as the Heat equation

Elliptic

b2(x,t)−a(x,t)c(x,t)<0
The canonical form:

Mostly referred to as the Laplace or Poisson equation：

Initial and Boundary Conditions

解微分方程要有定解，就一定要引入条件， 这些附加条件称为定解条件。定解条件的形式很多，最常见的有两种——初始条件和边界条件。
Depending on the problem, we usually have initial conditions (IC)
x(x,t=0)=u0(x)

and/or boundary conditions (BC)
au+b∂u∂x=c,∀x∈∂Q,∀t

and the BC is called Dirichlet if b=0b=0 , Neumann if a=0a=0 , or Robin if c=0c=0 .

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