“圆满”的空间分割术

        3月14日——圆周率日又要到了，一起来探讨一个有趣的问题。尽管在数学的各个分支里，圆周率pi都能以让人意想不到的方式“合逻辑”地出现，早就超出了数千年前的发现者们的想象，这次我们还是回眸最初的源头，从圆周谈起。

        试问三维空间是否能分成一个一个的圆？也就是说，无穷多个圆能否既不重也不漏地填满全部三维空间？这无疑是个有趣而迷人的问题，由美国普林斯顿大学计算机科学教授Nick Pippenger提出并给出了解答，我们不妨把这个问题称作“’圆满’的空间”。

        乍一看很简单，最容易想到的是把三维空间分成摞在一起的无穷多个平面，也就是把三维空间看作无穷多个平面的并集，再把每个平面分成无穷多个同心圆。

        然而这样处理有个重大问题，这些同心圆的圆心被漏掉了，不属于任何一个圆，空间因此没有被圆填满。虽然直线也可以看作半径是无穷大的圆，可以把圆心“填上”，但如果不允许这样放宽条件，这种分割方式显然是行不通的。对于每个平面来说，不妨把这样不属于任何一个圆的点称作“奇异点”。

        稍作拓展，如上图所示，对于一个球面来说，如果把球面看作是无穷多个圆的并集，容易理解，球面上一定会出现两个奇异点，如图中的P1和P2。不过，两个奇异点不一定是球上的对跖点，本公众号《从平面上能画多少个“丫”谈起》一文介绍了通过一一对应探讨无穷的思想，若对此种观念有所领会，就会明白其实球面上任意两点都可以作为奇异点。换一种方式说明如下：

        如上图，球面O上T1,T2是两个奇异点，过T1,T2的切平面相交于直线CC'。围绕CC'轴，平面CC'T1从切点T1连续变化到T2，将在球面上截出无穷多个不重不漏的圆周。即球面除了两个奇异点外是圆的并集，图中的圆AA'就是并集中的一个元素。

        有了这些准备，我们自然会试着先把三维空间分成一个个球面，再补上一些圆把球面上的奇异点“填住”。令人惊喜的是，以这样的思路，果然有种非常完美的解答。

        如上图所示，在XY平面上放置一个一个半径等于1的单位圆，这些单位圆的圆心在X轴上，横坐标满足被4除后余1，如(—7,0),(—3,0),(1,0),(5,0),(9,0)……。图中虚线表示无穷多个同心球面，观察不难发现，任意一个球面，都与这些单位圆在且仅在两个点处相交，球面上的两个奇异点因此被填补，巧妙至极。由上文的分析，每个球面的其余部分是无穷多个圆的并集，三维空间于是被不重不漏地分成一个个圆。

        这个问题利用环面等等还有其他的解决方案，但这个解答堪称数学中简洁、优雅的极致，令人叹为观止。如此得到“圆满”的空间，也是一件艺术大师妙手偶得的杰作。

        当然，空间的圆满寓意虽好，只存在于理想之中，否则就不会有建立在资源稀缺性基础上的学科——经济学及其思维方式了。这里我想到的是出生于19世纪末的荷兰画家蒙德里安。这位从立体主义汲取精华的伟大画家一生致力于将表象化的现实还原至最本质的构成，是新柏拉图主义的信徒。

        有趣的是，在“纯粹抽象”的理念世界里构建崇楼杰阁的画家不断尝试直线、直角和矩形原色块的种种组合，他掀起的风格派运动在家具、建筑设计以及装饰艺术上也影响深远。我倒觉得，本文讲述的“无穷多个圆如何既不重也不漏地填满全部三维空间”这类问题最为完美地体现了蒙德里安式的艺术理念和追求，是向着理念世界的一次突进。蒙氏元素多是代表人工、人为的直角、矩形，大约也是觉得天意高难问。最后，我们再来欣赏一下“圆满”的空间这件艺术杰作。