对于固定效应和随机效应的理解要尽可能深刻，下面这篇文章总结的相对比较好，要明确固定效应模型与工具变量的适用性，这一点我相信很多人没有进行区分。
固定效应模型和随机效应模型对可观测的解释因素和不可观测因素有不同的假设。我们知道在我们做实证研究时，我们找到的很多解释变量不能完全解释被解释变量，而观测不到的一些因素也会影响到解释变量。举例：收入和教育之间的关系。
我们知道教育年限会影响收入y，但是观察不到的因素u（个人能力等）也会通过教育年限影响收入。这样我们用计量的方法测到的教育对收入的影响就变的不准确了，在横截面数据（cross-section）结构的情况下我们会选择工具变量来更加准确的估计
。其实之所以不能准确的估计教育对收入的影响，主要是我们的信息（知识）不够充分，我们不能够找到一个完全代表教育的信息（知识）来测量教育对收入的影响，这种情况下我们可以引入母亲的教育年限来作为工具变量，因为我们根据已有的研究知道，母亲的教育年限会影响孩子的教育年限，但是母亲的教育年限不影响孩子的个人能力，如果上述逻辑成立，也就意味着我们引入母亲的教育年限这样一个新的信息会使整个计量模型在估计教育回报时的信息更加充分，即我们找到了一个仅仅是因为教育年限变化，而不是个人能力变换引起教育年限变化，进一步带来的收入变化，这也就是因果效应（Causal Effect）的思想。
接下来，谈谈面板数据的问题。截面数据估计教育回报率时，因为个人的信息不充分，所以我们估计会发生偏误，为了获得精准的估计，我们必须引入母亲的教育年限这一信息使估计更加精准。但在面板数据中，我们会发现因为对某人会进行多年的调查，该人的信息会更加充分了，以至于在估计教育回报率时我们不需要借助于该人之外的信息（或者了解该人更多层面的信息）获得更加精准的测量。
下面是面板数据的模型
当然我们可以发现如果我们把时间抹掉的话，模型还是
如果个人能力是不随时间变化的，这一部分就可以被看作是，而我们对于该人做了多年的调查，虽然我们不能直观的观测到个人能力，但是个人能力对收入的影响是反映在收入中的，且不随时间变化，我们就可以利用个人能力不随时间变化的性质消掉其对于收入的影响，也就是做差分或者去平均。这就是固定效应模型（Fixed Effect Model).
做差分或去平均的过程会损失掉一部分样本，其实也就意味着损失掉一部分信息。当我们研究的问题并没有类似于上面提到的个人能力（固定效应？）存在时，我们的模型如下
这就意味着差分或去平均是无效率的一个过程，这时随机效应模型（Random Effect Model）是更加有效的。其实这类似于一个横截面的数据直接在样本上扩大了T倍，当然更准确的讲并不是这样。
关于估计的效率和其他方面的问题都可以去读一下面板数据模型具体的数学形式的变换。
考虑时间固定效应，我们仍然用收入和教育的例子。我们考虑在不同时间上有不同的教育政策影响人们受教育程度，但是为了简便我们不考虑个体层面的固定效应，也就是假设每个人都是差不多的，在能力上几乎没有差异，那么原来的模型变成了如下形式：
现在我们如果想要去除时间上的固定效应只需要从个体维度上做平均或差分即可。也就是说，把同一年的横截面数据加总取平均，然后每一个个体减去该均值，这样时间上的固定效应就被消掉了。但是我们需要知道我们的假设是个体层面上没有固定效应，当个体层面同时存在固定效应时，我们的模型如下：
这个就比较复杂了，需要用数学来讲了，大概也是一个去平均的过程，推荐Baltagi的Econometric Analysis of Panel Data，这本书专门讲面板数据的。
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