微分方程-隐式通解

作者: 洛玖言 | 来源:发表于2019-11-07 17:07 被阅读0次

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隐式方程

因为会遇到一些导数未接触的一阶微分方程. 这里讨论一阶隐式方程，其一般形式为

$\displaystyle F\left(x,y,\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}\right)=0 （2.46）$

求解这类方程的基本思想是将 $p=\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}$ 看成独立的变量而考虑把由代数方程 $F(x,y,p)=0$ 所定义的 $\mathbb{R}^3$ 上的曲面的参数化，再通过变量替换的方法把方程（2.46）化为导数已解出的显式方程，然后用之前的方法求解.

一般求解的具体做法：

第一步

将曲面 $F(x,y,p)=0$ 表示成参数形式

$\begin{cases} x=\phi(s,t),\\ y=\psi(s,t),\\ p=\kappa(s,t).\quad(2.47) \end{cases}$

第二步

对（2.47）求 $x,y$ 的微分，用 $p=\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}$ 给出 $\text{d}y$ 和 $\text{d}x$ 的关系:

$\begin{aligned} &\text{d}x=\dfrac{\partial \phi}{\partial s}\text{d}s+\dfrac{\partial \phi}{\partial t}\text{d}t,&(2.48)\\ &\text{d}y=\dfrac{\partial \psi}{\partial s}\text{d}s+\dfrac{\partial \psi}{\partial t}\text{d}t,&(2.49)\\ &\text{d}y=\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}\text{d}x=\kappa\text{d}x,&(2.50) \end{aligned}$

第三步

将（2.48）、（2.49）带入（2.50）得

$\displaystyle\dfrac{\partial \psi}{\partial s}\text{d}s+\dfrac{\partial \psi}{\partial t}\text{d}t=\kappa\left(\dfrac{\partial \phi}{\partial s}\text{d}s+\dfrac{\partial \phi}{\partial t}\text{d}t\right)$

合并得到

$\displaystyle\left(\dfrac{\partial \psi}{\partial s}-\dfrac{\partial \phi}{\partial s}\kappa\right)\text{d}s+\left(\dfrac{\partial \psi}{\partial t}-\dfrac{\partial \phi}{\partial t}\kappa\right)\text{d}t=0\;\;(2.51)$

从而化成了对成型是的微分方程.

第四步

如果用学过的方法求出了方程(2.51)的通解 $s=w(t,C)$ ，则将他带入（2.47）就得到方程（2.46）的参数形式的解

$\begin{cases} x=\phi(w(t,C),t),\\ y=\psi(w(t,C),t).\\ \end{cases}\quad(2.52)$

其中 $C$ 为任意常数. 如果方程（2.51）的通解是另一种形式 $t=w(s,C)$ ，我们可以得到类似结果.

讨论集中特殊形式的方程

可以解出 $y$ 的方程

$y=f\left(x,\,\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}\right),\quad(2.53)$

这里函数 $f$ 有连续的一阶偏导数. 这时曲面 $F(z,y,p)=0$ 的参数形式可为

$\begin{cases} x=x,\\ y=f\left(x,p\right),\\ p=p. \end{cases}$

其中 $x,p=\dfrac{\text{d}y }{\text{d}x}$ 为参数. 对方程（2.53）两边关于 $x$ 求导，得

$\displaystyle p=\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,p)+\dfrac{\partial f}{\partial p}(x,p)\dfrac{\text{d}p}{\text{d}x}$

整理可得到对称形式的方程：

$\displaystyle\left(p-\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,p)\right)\text{d}x-\dfrac{\partial f}{\partial p}(x,p)\text{d}p=0\quad(2.54)$

可以解出 $x$ 的方程：

$x=f\left(y,\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}\right),\quad(2.55)$

这里函数 $f$ 有连续的一阶偏导数. 类似地曲面 $F(x,y,p)=0$ 的参数形式可为

$\begin{cases} x=f(y,p),\\ y=y,\\ p=p. \end{cases}$

其中 $y,p=\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}$ 为参数. 对方程（2.55）两边关于 $x$ 求导，得

$\displaystyle1=p\dfrac{\partial f}{\partial y}(y,p)+p\dfrac{\partial f}{\partial p}(y,p)\dfrac{\text{d}p}{\text{d}y}.$

由上式可解出 $\dfrac{\text{d}p}{\text{d}y}$ ，从而得到如下规范形式的一阶微分方程：

$\displaystyle\dfrac{\text{d}p}{\text{d}y}=\dfrac{\dfrac{1}{p}-\dfrac{\partial f}{\partial y}(y,p)}{\dfrac{\partial f}{\partial p}(y,p)}.\quad(2.57)$

不显含 $y$ 的隐式方程

$F\left(x,\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}\right)=0\quad(2.58)$

令 $p=\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}$ ，这时代数方程 $F(x,p)=0$ 代表 $Oxp$ 平面上的一条曲线，设该曲线有参数表示

$\begin{cases} x=\varphi(s),\\ p=\psi(s), \end{cases}\quad(2.59)$

其中 $s$ 为参数. 由微分关系得

$\begin{cases} \text{d}y=p\text{d}x=\psi(s)\text{d}x,\\ \text{d}x=\varphi(s)\text{d}s. \end{cases}$

因此

$\text{d}y=\psi(s)\varphi'(s)\text{d}s,$

这是一个变量分离的方程，其通解为

$\displaystyle y(s)=\int\psi(s)\varphi'(s)\text{d}s+C$

其中 $C$ 为任意常数. 由此得方程（2.58）的参数形式的通解为

$\begin{cases} x=\varphi(s),\\ y=\int\psi(s)\varphi'(s)\text{d}s+C. \end{cases}\quad(2.60)$

不显含 $x$ 的隐式方程

$F\left(y,\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}\right)=0\quad(2.61)$

令 $p=\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}$ ，同样，代数方程 $F(y,p)=0$ 代表 $Oyp$ 平面上的一条曲线，设其参数表示为

$\begin{cases} y=\varphi(s),\\ p=\psi(s). \end{cases}\quad(2.62)$

由微分关系得

$\begin{cases} \text{d}y=\varphi'(s)\text{d}s\\ \text{d}y=p\text{d}x=\psi(s)\text{d}x. \end{cases}$

因此，

$\text{d}x=\dfrac{\varphi'(s)}{\psi(s)}\text{d}s.$

故方程（2.61）的参数形式的通解为

$\begin{cases} x=\int\dfrac{\varphi'(s)}{\psi(s)}\text{d}s+C.\\ y=\varphi(s). \end{cases}\quad(2.63)$

其中 $C$ 为任意常数.

例子

1

$\displaystyle\left(\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}\right)^3+2x\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}-y=0$

Sol:

令 $p=\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}$ ，则有

$y=p^3+2xp$

对方称两边关于 $x$ 求导，得

$p=3p^2\dfrac{\text{d}p}{\text{d}x}+2x\dfrac{\text{d}p}{\text{d}x}+2p$

即

$(3p^2+2x)\text{d}p+p\text{d}x=0$

当 $p\not=0$ 时，方程有积分因子 $\mu=p$ ，用 $\mu$ 乘上述方程的两端，得

$3p^3\text{d}p+(2xp\text{d}p+p^2\text{d}x)=0$ .

由此求出放曾的隐式通解：

$\dfrac{3p^4}{4}+xp^2=C_1$

其中 $C_1$ 为任意常数. 接触 $x$ 得

$x=\dfrac{C_1-\dfrac34p^4}{p^2}=\dfrac{C-3p^4}{4p^2},$

其中 $C=4C_1$ . 从而原微分方程得参数形式的解为

$\begin{cases} x=\dfrac{C-3p^4}{4p^2},\\ y=p^3+2p\dfrac{C-3p^4}{4p^2}=\dfrac{C-p^4}{2p} \end{cases}\quad(p\not=0).$

当 $p=0$ 时，由（2.65）可直接推知 $y=0$ 也是微分方程的解.

2

解

$x^3+\left(\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}\right)^3-3x\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}=0$

Sol:
令 $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}=p=tx$ ，则由方程得

$\begin{cases} x=\dfrac{3t}{1+t^3},\\ p=\dfrac{3t^2}{2+t^3}.\\ \end{cases}$

于是

$\text{d}y=\dfrac{9(1-2t^3)t^2}{(1+t^3)^3}\text{d}t.$

两边积分得

$\displaystyle y=\int\dfrac{9(1-2t^3)t^2}{(1+t^3)^3}\text{d}t=\dfrac{3(1+4t^3)}{2(1+t^3)^2}+C$

因此，方程的参数形式得通解为

$\begin{cases} x=\dfrac{3t}{1+t^3},\\ y=\dfrac{3(1+4t^3)}{2(1+t^3)^2}+C. \end{cases}$

其中 $C$ 为任意常数.

3

解

$\left(\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}\right)^3-y^2\left(4-\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}\right)=0$

Sol:
令 $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}=p,\,y=pt,\,$ 由方程可得

$\begin{cases} p=\dfrac{4t^2}{1+t^2},\\ y=\dfrac{4t^3}{1+t^2}.\\ \end{cases}$

当 $p\not=0$ 时，由 $\text{d}x=\dfrac{1}{p}\text{d}y$ ，则

$\displaystyle x=\int\dfrac{3+t^2}{1+t^2}\text{d}t=t+2\arctan t+C.$

因此，该方程的参数形式的解为

$\begin{cases} x=t+2\arctan t+C,\\ y=\dfrac{4t^3}{1+t^2}.\\ \end{cases}$

其中 $C$ 为任意尝试. 此外，当 $p=0$ 时，易知 $y=0$ 也是方程的解.

在某些情况下我们可从隐式方程中接触 $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}$ ，因此可以将方程化为前两节讨论过的显式方程. 例如：若方程的形式为

$\displaystyle\sum_{k=0}^na_k(x,y)\left(\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}\right)^k=0$

若该方程关于 $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}$ 多项式有 $s$ 个不同的实根 $f_k(x,y),\,k=1,2,\cdots,s,s\leqslant n,$ 则对每个 $k$ ，该方程的求解问题都可归结为形式较简单的显式方程

$\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}=f_k(x,y)$

的求解问题. 例如

$y'^2-\left(xy+\dfrac{1}{2y}\right)y'+\dfrac{x}{2}=0$

可以写成

$\left(y'-\dfrac{1}{2y}\right)\left(y'-xy\right)=0$

由此得两个方程

$y'=\dfrac{1}{2y},\,\;y'=xy.$

对这两个方程分别用分离变量法求解，从而得到原方程的不同解为

$x=y^2+C_1,$

或

$y=C_2e^{\frac{x^2}{2}}$

其中 $C_1,\,C_2$ 为任意常数.

若方程不显含 $x$ 和 $y$ ，即方程的形式为

$F\left(\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}\right)=0\quad(2.68)$

这时若方程（2.68）至少有一个实根 $y'=p$ ，则有 $y=px+C$ . 将 $p=\dfrac{y-C}{x}$ 带入方程（2.68），即得方程（2.68）的隐式通解

$F\left(\dfrac{y-C}{x}\right)=0$

其中 $C$ 为任意常数. 例如方程

$\left(\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}\right)^7-2\left(\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}\right)^4+5\left(\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}\right)^3+5=0$

由于方程的左边是一个关于 $\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x}$ 的 7 次多项式，因此该方程至少有一个实根，故有隐式通解

$\left(\dfrac{y-C}{x}\right)^7-2\left(\dfrac{y-C}{x}\right)^4+5\left(\dfrac{y-C}{x}\right)^3+5=0$

其中 $C$ 为任意常数.

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隐式方程

第一步

第二步

第三步

第四步

讨论集中特殊形式的方程

可以解出 $y$ 的方程

可以解出 $x$ 的方程：

不显含 $y$ 的隐式方程

不显含 $x$ 的隐式方程

例子

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