ML——神经网络

神经元模型

神经网络是由具有适应性的简单单元组成的广泛并行互连的网络，最基本的成分是神经元模型，下图便是一个“M-P神经元模型”。

在这个模型中，神经元接到来自n个其他神经元传递过来的输入信号，通过带权重的连接进行传递，神经元接收到的总输入值将与神经元的阈值θ进行比较，然后通过激活函数f处理产生神经元的输出。

理想的激活函数为(a)阶跃函数，输出值“0”代表神经元抑制，“1”代表神经元兴奋，但考虑到阶跃函数不连续、不光滑的性质，因此常用sigmoid作为激活函数。

把多个神经元按一定的层次结构连接起来就得到了神经网络。

感知机和多层网络

如图，感知机有两层神经元，输入层接收外界输入信号后传递给输出层，输出层是上述介绍的M-P神经元。

感知机只有输出层神经元进行激活函数处理，学习能力非常有限。对于线性可分的问题，感知机的学习过程一定能收敛，但对于非线性可分问题，需考虑使用多层功能神经元，即在输入层和输出层之间添加隐层，隐层和输出层神经元都是具有激活函数的功能神经元。

上图所示的层级结构的神经网络叫“多层前馈神经网络”：每层神经元与下一层神经元全互连，神经元之间不存在同层连接，也不存在跨层连接。其中，输入层神经元仅接受外界输入，不进行函数处理，隐层和输出层包含功能神经元。

反向传播算法BP

反向传播（简称BP）算法是求解多层网络算法中的杰出代表。一般所说的“BP网”是指用BP算法训练的多层前馈神经网络。

BP算法推导

给定训练集下图给出了具有d个输入神经元、l个输出神经元、q个隐层神经元的多层前馈神经网，隐层第h个神经元阈值为，输出层第j个神经元阈值为，输入层第i个神经元与隐层第h个神经元间的连接权为，隐层第h个神经元与输出层第j个神经元间的连接权为，隐层第h个神经元输出为，且隐层和输出层都使用sigmoid函数。

对训练例，设神经网络输出为，即 

                                                

则网络在上的均方误差为

BP算法在迭代的每一轮采用广义感知机学习规则，基于梯度下降法，以目标的负梯度方向对参数进行调整。

以隐层到输出层的连接权为例： 

复合函数求导得:                        

BP算法流程

BP算法先将输入示例提供给输入层神经元，然后逐层将信号前传，直到产生输出层的结果，然后计算输出层误差，再将误差逆向传播至隐层神经元，最后根据隐层神经元的误差对连接权和阈值进行调整，如此循环迭代，直到达到某些条件为止。流程图如下：

BP算法的目标是要最小化训练集D上的累积误差。上述“标准BP算法”每次更新只针对单个样例，需进行多次迭代已达到累积误差极小点，由于其强大的表示能力，BP常会发生过拟合，因此训练误差持续降低，但测试误差逐渐升高。常用“early stopping”或“regularization”方法解决。

early stopping：将数据集分为训练集和验证集。训练集用于计算梯度、更新连接权和阈值；验证集用于估计误差。若训练集误差降低但验证集误差升高则停止训练，同时返回具有最小验证集误差的连接权和阈值。

regularization：在误差目标函数中增加一个用于描述网络复杂度的部分，eg连接权与阈值的平方和，其中，常用交叉验证法来估计。

全局最小与局部最小

神经网络的训练过程可看做一个参数寻优过程，例如BP算法就是通过梯度下降寻找使累积误差E最小的权值和阈值。常说的最优有“局部极小”和“全局最小”

局部极小解：参数空间中某个点，其领域点的误差函数值均不小于该店的函数值；

全局最小解：参数空间中某个点，所有其他点的误差函数值均不小于该店的函数值；

基于梯度的搜索是使用最为广泛的参数寻优方法，但当误差函数具有多个局部极小，则不能保证此法找到的解是全局最小，因此常用以下一些启发式算法：

1）以多组不同参数值初始化多个神经网络，按标准方法训练后，取其中误差最小的解作为最终参数；

2）使用“模拟退火”：每一部都以一定的概率接受比当前解更差的结果，但也可能会跳出全局最小；

3）使用随机梯度下降，在计算梯度时加入随机因素，使得在局部最小时，梯度仍可能不为0 ，能继续搜索。

其他常见网络

径向基（RBF）网络：单隐层前馈神经网络，示意图如下：

训练RBF网络：1）利用随机采样、聚类等方法确定神经元中心ci；2）利用BP算法确定参数w和β。

Elman网络：递归神经网络，隐层神经元的输出被反馈回来与下一时刻t+1输入层神经元的信号一起，作为隐层神经元在下一时刻的输入，实现时间序列建模的目的。

Boltzmann机：基于能量的模型，能量最小化时达到理想状态。标准的Boltzmann机是全连接的，但计算复杂度高。Restricted Boltzmann机则进行了改进，层内无连接，层间有连接，一般用对比散度来进行训练。

深度学习

理论上，参数越多模型越复杂，容量越大，深度学习模型就是复杂且容量大的模型，它通常有八九层甚至更多隐层。为提高容量，一般会采用增加隐含层数目和增加隐含层神经元数目的方法。

训练：

无监督逐层训练：每次训练一层隐结点，把上一层隐结点的输出作为输入，本层隐结点的输出作为下一层隐结点的输入，称为“预训练”，预训练完成后进行“微调”。预训练+微调可看成将大量参数分组，找出每组局部较好设置，基于其联合进行全局寻优。

权共享：令同一层神经元使用完全相同的连接权。

周志华《机器学习》