线性代数(一)行列式

作者: AdRainty | 来源:发表于2021-08-25 00:00 被阅读0次

第19课行列式公式和代数余子式
n阶行列式算法
行列式——基础知识
行列式 determinant
线性代数导论
110、对NumPy中dot()函数的理解
授课日记
行列式简介
线性代数(一)行列式
线性代数_行列式

一、行列式的本质定义

n阶行列式是由n个n维向量 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=\left[a_{11}, a_{12}, \cdots, a_{1 n}\right], \boldsymbol{\alpha}_{2}=\left[a_{21}, a_{22}, \cdots, a_{2 n}\right], \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n}=\left[a_{n 1}, a_{n 2}, \cdots, a_{m}\right]$ 组成的，其运算规则的结果为以这个向量为邻边的n维图形的体积。
$\boldsymbol{A}=\left[ a_{ij} \right] _{n\times n}=\left[ \begin{matrix} a_{11}& a_{12}& \cdots& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots& a_{2n}\\ \vdots& \vdots& \ddots& \vdots\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots& a_{nn}\\ \end{matrix} \right] _{n\times n}$

二、行列式的性质

行的性质列也有

经转置的行列式的值不变
某行有公因数k，可把k提到行列式外；特别地，某行元素全为0，则行列式的值为0
两行互换行列式变号；特别地，两行相等或成比例，行列式的值为0
某行所有元素都是两个数的和，则可写成两个行列式的和
某行的k倍加至另一行，行列式的值不变

对于性质4，一般情况下， $|\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B|\ }\ne \ |\boldsymbol{A|}+|\boldsymbol{B|}$

两个行列式可以相加必须满足除了一行之外，其余的行全部相等

三、行列式的逆序数法定义

1、排列和逆序

排列：由n个数1,2，…,n组成的一个有序数组称为一个n级排列,如23145是一个5级排列,41352也是一个5级排列.n级排列共有n!个.
逆序：在一个n级排列 $i_{1} i_{2} \cdots i_{s} \cdots i_{t} \cdots i_{n}$ 。中,若 $i_{s}>i_{t}$ ,,且 $i_{s}$ ,排在 $i_{t}$ 前面,则称这两个数构成一个逆序.
逆序数：一个排列中,逆序的总数称为该排列的逆序数
奇排列和偶排列：排列的逆序数为奇数时,该排列称为奇排列;排列的逆序数为偶数时,该排列称为偶排列.

2、n阶行列式的定义

$\left| \begin{matrix} a_{11}& a_{12}& \cdots& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots& a_{2n}\\ \vdots& \vdots& \ddots& \vdots\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots& a_{nn}\\ \end{matrix} \right|\xlongequal{\text{def}}\sum_{k=1}^n{\left( -1 \right) ^{\tau \left( j_1j_2\cdots j_n \right)}a_{1j_n}a_{2j_2}\cdots a_{nj_n}}$

四、行列式的展开定理

1、余子式

在 $n$ 阶行列式中,去掉元素 $a_{i j}$ 所在的第 $i$ 行,第 $j$ 列元素,由剩下的元素按原来的位置与顺序组成的 $n-1$ 阶行列式称为元素 $a_{i j}$ 的余子式,记作 $M_{ij}$ ,即
$M_{ij}=\left| \begin{matrix} a_{11}& \cdots& a_{1,j-1}& a_{1,j+1}& \cdots& a_{1n}\\ \vdots& & \vdots& \vdots& & \vdots\\ a_{i-1,1}& \cdots& a_{i-1,j-1}& a_{i-1,j+1}& \cdots& a_{i-1,n}\\ a_{i+1,1}& \cdots& a_{i+1,j-1}& a_{i+1,j+1}& \cdots& a_{i+1,n}\\ \vdots& & \vdots& \vdots& & \vdots\\ a_{n1}& \cdots& a_{n,j-1}& a_{n,j+1}& \cdots& a_m\\ \end{matrix} \right|.$

2、代数余子式

余子式 $M_{ij}$ ,乘 $(-1)^{i+j}$ 后称为 $a_{i j}$ 的代数余子式,记作 $A_{i j}$ ,即
$A_{i j}=(-1)^{i+j} M_{i j}$

3、行列式按某一行(列)展开公式

行列式的值等于行列式的某行(列)元素分别乘其相应的代数余子式后再求和,即
$A=\det \boldsymbol{A}=\sum_{j=1}^n{a_{ij}A_{ij}},1\le i\le n$

$A=\det \boldsymbol{A}=\sum_{i=1}^n{a_{ij}A_{ij}},1\le j\le n$

但某一行的所有元素与另一行相应元素的代数余子式的乘积之和等于0

即
$\sum_{j=1}^n{a_{ij}A_{kj}}=0，i\ne k$
$\sum_{i=1}^n{a_{ij}A_{ik}}=0，j\ne k$

五、几个重要的行列式

1、上（下）三角行列式

$\left|\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{m}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{m}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{m}\end{array}\right|=\prod_{i=1}^{n} a_{i i}$

2、副对角线行列式

$\left|\begin{array}{ccccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1, n-1} & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2, n-1} & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{n 1} & 0 & \cdots & 0 & 0\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}0 & \cdots & 0 & a_{1 n} \\ 0 & \cdots & a_{2, n-1} & a_{2 n} \\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{n 1} & \cdots & a_{n, n-1} & a_{m}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cccc}0 & \cdots & 0 & a_{1 n} \\ 0 & \cdots & a_{2, n-1} & 0 \\ \vdots & & \vdots & \vdots \\ a_{n 1} & \cdots & 0 & 0\end{array}\right| =(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} a_{1 n} a_{2, n-1} \cdots a_{n 1}$

3、拉普拉斯展开式

$\left|\begin{array}{ll}A & O \\ O & B\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll}A & C \\ O & B\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll}A & O \\ C & B\end{array}\right|=|A||B|$

$\left|\begin{array}{ll}O & A \\ B & O\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ll}C & A \\ B & O\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}O & A \\ B & C\end{array}\right|=(-1)^{m n}|A||B|$

4、范德蒙德行列式

$\left|\begin{array}{cccc}1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_{1} & x_{2} & \cdots & x_{n} \\ x_{1}^{2} & x_{2}^{2} & \cdots & x_{n}^{2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ x_{1}^{n-1} & x_{2}^{n-1} & \cdots & x_{n}^{n-1}\end{array}\right|=\prod_{1 \leqslant i<j \leqslant n}\left(x_{j}-x_{i}\right)$