三.高数常用基础知识（2）

作者: 傻疯子 | 来源:发表于2022-01-14 23:47 被阅读0次

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5.一元二次方程基础

根的公式为 $x1,x2=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

伟达定理： $x_1+x_2=-\frac{b}{a},x1x2=\frac{c}{a}$

6.因式分解公式

$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$
$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$

记二项式定理
$(a+b)^n=\sum_{k=0}^nC_n^ka^{n-k}b^k=a^n+na^{n-1}b+\frac{n(n-1)}{2!}a^{n-2}b^2+\cdots+\\ \frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}a^{n-k}b^k+\cdots+ nab^{n-1}+b^n$ .
其中 $C_n^k$ 可以用杨辉三角快速获得

7.阶乘与双阶乘

$(2n)!!=2\bullet4\bullet6\bullet\cdots\bullet(2n)\bullet(2n-1).$
正整数的双阶乘表示不超过这个正整数且与它有相同奇偶性的所有正整数乘积

8.常用不等式（需要记住）

（1） $|a\pm b|\leq|a|+|b|$ 可推广到多项 $||a|-|b||\leq|a-b|$ .

（2）记 $\sqrt{ab}\leq\frac{a+b}{2}\leq\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$
即可记为几算平，也可记为算术平均值大于几何平均值小雨均方根

（3）指数函数大小

（4）若 $0<a<x<b,0<c<y<d$ ,则 $\frac{c}{x}<\frac{y}{x}<\frac{d}{a}$

（5） $sinx<x<tanx(0<x<\frac{\pi}{2})$

（6） $sinx<x(x>0)$

（7） $arctanx\leq x\leq arcsinx(0\leq x \leq 1)$

（8） $e^x\geq x+1(\forall x)$

（9） $x-1\geq lnx(x>0)$

（10） $\frac{1}{1+x}<ln(1+\frac{1}{x})<\frac{1}{x}(x>0)$

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