解决复数问题的实数化思想

作者: 天马无空 | 来源:发表于2021-04-26 08:32 被阅读0次

复数是中学数学中重要内容之一，也是高考考查重点之一。它具有熔代数、三角、几何于一炉特点，应用广泛。复数问题可化归为实数问题,可与三角、几何问题相互转化，在教学(复习)中可纵横联系，不仅有助于学生灵活应用知识,提高解决问题的能力，而且有益于培养学生的数学思想方法、思维能力与创新意识。
在高考中通常是以易题出现，主要以选择题、填空题的形式考查，其试题难度属低中档题.

解决复数问题的实数化思想

方法实数化法

使用情景：求复数问题
解题步骤：

第一步首先观察复数的形式；
第二步然后根据分母实数化并由复数的概念对其进行求解；
第三步得出结论.
例1. 复数 $z=\cfrac{2i}{2-i}$ （ $i$ 为虚数单位）所对应的点位于复平面内（）
A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限
【答案】B
【解析】 $z=\cfrac{2i}{2-i}=\cfrac{2i(2+i)}{(2-i)(2+i)}=\cfrac{4i-2}{5}=-\cfrac{2}{5}+\cfrac{4}{5}i$ 相应的点 $(-\cfrac{2}{5},\cfrac{4}{5})$ 位于第二象限，故选B。

【总结】在复数的四则运算上,经常由于疏忽而导致计算结果出错.除了加减乘除运算外,有时要结合共轭复数的特征性质和复数模的相关知识,综合起来加以分析.在复数的四则运算中,只对加法和乘法法则给出规定,而把减法、除法定义为加法、乘法的逆运算.复数代数形式的运算类似多项式的运算,加法类似合并同类项；复数的加法满足交换律和结合律,复数代数形式的乘法类似多项式乘以多项式,除法类似分母有理化；用类比的思想学习复数中的运算问题.

例2、已知复数 $\dfrac{i^{2014}}{1+i}$ ，则复数 $z$ 在复平面内对应的点位于（）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】B
【解析】 $i^{2014}=i^2=-1$ ，故原式 $=\cfrac{-1}{1+i}=\cfrac{-1+i}{(1+i)(1-i)}=-\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{2}i$ ，对应点在第二象限.

例3、设 $i$ 是虚数单位，复数 $\dfrac{1+ai}{2-i}$ 为纯虚数，则实数 $a$ 为（）
A． $-\dfrac{1}{2}$

B． $-2$

C． $2$

D． $\dfrac{1}{2}$
【答案】C
【解析】 $\cfrac{1+ai}{2-i}=\cfrac{(1+ai)(2+i)}{5}$ ,所以 $2-a=0,1+2a\neq0\Rightarrow a=2$ ,选C

【总结】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路 $(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i,(a,b,c,d,\in R)$ . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数 $a+bi(a,b\in R)$ 的实部为 $a$ 、虚部为 $b$ 、模为 $\sqrt{a^2+b^2}$ 、对应点为 $(a,b)$ 、共轭为 $a-bi$

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