线性方程组（八）- 线性变换介绍

小结

1. 矩阵变化的定义
2. 线性变化的定义

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矩阵方程和对应的向量方程之间的差别仅仅是记号上的不同。然而矩阵方程出现在线性代数和应用中并不仅仅是直接与向量的线性组合问题有关。通常的情况是把矩阵当作一个对象，它通过乘法“作用”于向量，产生新的向量称为。

由这个新观点，若，解方程可解释为：求出中所有经过乘以的“作用”后变成为中的向量。

由到的对应是由一个向量集到另一个向量集的函数。这个概念推广了通常的函数概念，通常的函数是把一个实数变为另一个实数的规则。
由到的一个变换（或函数、映射）是一个规则，它把中每个向量对应以中一个向量。集称为的定义域，而称为的余定义域（或取值空间）.符号：说明的定义域是而余定义域是。对于中向量，中向量称为（在作用下）的像。所有像的集合称为的值域。

矩阵变换

对中每个，由计算得到，其中是矩阵。为简单起见，有时将这样一个矩阵变换记为。注意当有列时，的定义域为，而当的每个列有个元素时，的余定义域为。的值域为的列的所有线性组合的集合，因为每个像有的形式。

设，定义变换:为，于是

1. 求在变换下的像
2. 求中的向量，使在下的像是向量
3. 是否有其他向量在下的像是向量？
4. 确定是否属于变换的值域
   解：
   1. 
   2. 解，即解。
      将增广矩阵进行行化简：
      ~~
      因此，。即在下的像是给定的向量
   3. 由2)可知，的解是唯一的。所有仅有一个使它的像是。
   4. 若向量是中某个在下的像，则需要有，使方程有解。将的增广矩阵进行行化简：
      ~~~

第三个方程是0=-35，说明方程无解。因此不属于的值域。

若，则变换是把中的点投影到坐标平面上，因为

若，变换定义为，称为剪切变换。可以说明，若作用一个正方形的各点，则像的集构成带阴影的平行四边形。关键的思想是证明将线段映射称为线段，然后验证正方形的4个顶点映射成平行四边形的4个顶点。

线性变换

定义 变换（或映射）称为线性的，若

1. 对的定义域中一切，
2. 对的定义域中一切和数，。

线性变换保持向量的加法运算与标量乘法运算。

若是线性变换，则，且对的定义域中一切向量和以及数和有：。

对所有和，若一个变换满足，该变换必是线性的。
（若，可满足定义条件1；若，可满足定义条件2。）
重复应用，得出推广：。该推广等式，在工程和物理中，称为叠加原理。

给定数，定义为，当时，称为压缩变换；当时，称为拉伸变换。设，证明是线性变换。
解：设属于，为数，则

因满足，故此变换必是线性的。
其实可以猜出矩阵。