罗素悖论2

公理V，它断定了如下两个命题之间的等价：
（Va）对于每一个主目，函数F与函数G有同样的值。
（Vb）函数F的值域（value-range）等于函数G的值域。

如我们已经看到的，弗雷格关于函数值域的观念是他关于概念外延的观念的推广。

（Va）和（Vb）于是生成如下一个特例：
（Ca）概念F像概念G一样，适用于同样的对象（也就是说，无论什么东西，只要处于概念F之下，就处于概念G之下，反之亦然）。
（Cb）概念F的外延等于概念G的外延。

罗素悖论现在可陈述如下。
如果每一个概念都相对于所有对象来定义（如我们已经看到的，这就是弗雷格的主张），那么，每一个概念都可以看作是把所有对象划分成两类：那些处于它之下的对象，和那些不处于它之下的对象。

如果概念的外延是对象（弗雷格假定它们是如此，就像数一样），那么，外延本身也可以划分成两类：那些处于该概念之下并且它们是其外延的外延（例如概念是一个外延的外延），和那些不处于该概念之下并且它们本身不是其外延的外延（例如，概念是一匹马的外延）。
但是，现在考虑概念是一个并不处于它自身之下的概念的外延。这个概念的外延是否处于该概念之下？如果它处于该概念之下，则它不处于该概念之下；如果它不处于该概念之下，则它处于该概念之下。我们已经得出了一个矛盾：这就是罗素悖论。

算术基础：
“与 F 这个 概念 等 数 的” 这个 概念 的 外延 与“ 与 G 这个 概念 等 数 的” 这个 概念 的 外延 相等
这个 句子 是真 的， 当 且 仅 当：
“同一个 数 既 属于 F 这个 概念， 又 属于 G 这个 概念” 这个 句子 也是 真的。 因而 这里 是 完全 一致 的。

徐：
弗雷格的公理5主要是说函数值域相等的条件，也可以理解为概念外延相等的条件。其产生的困难主要是和他的逻辑普遍主义联系在一起的，即认为概念对于所有落在其下对象的普遍性。但是他对对象的理解也包括概念的外延，他将概念的外延或函数的值域都理解为一种抽象的对象。而这就会产生困难。因为概念（函数）相等的条件在于其外延相等或值域相等，而概念外延或值域本身又被理解为抽象的逻辑对象，对象又与概念截然不同，那么，这样就会产生悖论：概念就会分为两大类：所有属于这个概念的对象和不属于这个概念的对象，那么，考虑哪些由不属于自身的概念的类所组成的类，那么它们属于还是不属于这个概念类呢？这就是两难。

公理5是对于概念/函数的谈论。
什么是一个概念相等，或者说我们基于什么条件可以说两个概念之间是相等的。
公理5指出了两种标准，并且把它们看作是对于同一个事情的谈论——关于概念相等的谈论，两者之间意谓相等。

弗雷格为什么要讨论概念的相等？
按照弗雷格在算术基础中的工作，把数看作概念的外延，并且，是一个诸如“和概念F的外延等数的”这样的概念的外延。
就是说，数基于等数的概念。等数基于处于概念F和G之下的对象的一一相应。而概念F和G可以为对象所谓述，根本上它是对象。从意义相应到数的谈论，就是“和概念F的外延等数的”这样的概念。
概念F的外延，又是什么？
概念F的外延：‘与自身不相等’这个概念的外延，还不能说出是什么。但是可以说出的是，属于它的一个数，“与它等数的”这个概念的外延是同一个数。
而“与自身相等的”这个概念的外延是什么？所有对象都处于它之下。如果要指出属于它的一个数的话，这个数是并没有给出来的。其外延可以看作总是真的。
可见，概念的外延在给出一个概念的同时，直接地得到的东西是一个真值函项。如果进一步关注这个外延的性质，譬如属于‘与自身不相等’这个概念的外延的一个数，也可以表示为：“和概念F的外延等数的”这概念的外延，F就是‘与自身不相等’这概念。
“和‘与自身不相等’这概念的外延等数的”这概念的外延，它意谓一个数。

就概念F的外延来看。没有东西处于其下。属于它的一个数是0。
对象处于F之下，产生相应的真值函项。外延就是函数的值域。外延是一个对子，还是一个一元的值？
“和概念F的外延等数的”这概念的外延，它是一个数。
但是，“一匹马” 这概念，其外延就是一个真值。它取真或假取决于补充它的一个对象是不是一匹马。
但是“和概念F的外延等数的”这概念的外延，并不由补充它的对象所决定。因为这外延是一个对象，这点是由这个概念本身的内容所决定的。“和概念F的外延等数的”具有概念的形式，因此它需要谈论其外延和处于其下的东西。但是根本上它是一个对象，因此其外延和处于其下的对象都已经在自身之内给出来了。

公理5，在算术基础中已经有所指出。

a 这条 线 的 这个 方向 是“ 与 a 这条 线 平行” 这个 概念 的 外延；
d 这个 三角 形的 这种 形状 是“ 与 d 这个 三角形 相似” 这个 概念 的 外延！

适合 F 这个 概念 的 数 是“ 与 F 这个 概念 等 数 的” 这个 概念 的 外延。
注：
我 相信， 可以 简单 地 用“ 概念” 来 表示“ 概念 的 外延”。
但是 人们 会 提出 两点 反对 意见：
1． 这与 我 前面 的 断定—— 个 别的 数 是 对象—— 相 矛盾， 因为 像“ 二 这 个数” 这样 的 表达式 中有 定 冠词； 不可 能以 复数 的 形式 谈论 一、 二 等等， 还 有数 只 构成 给出 数 时 谓词 的 一部分。
2． 概念 可以 有 相同 的 外延， 而 不 重合。 尽管 我 现在 认为， 可以 提出 这 两种 反对 意见， 但是 这可 能 引导 我们 远离 主题， 我 假定， 人们 知道 一个 概念 的 外延 是什么。

现在，
“与 F 这个 概念 等 数 的” 这个 概念 的 外延 与“ 与 G 这个 概念 等 数 的” 这个 概念 的 外延 相等
这个 句子 是真 的， 当 且 仅 当：
“同一个 数 既 属于 F 这个 概念， 又 属于 G 这个 概念” 这个 句子 也是 真的。 因而 这里 是 完全 一致 的。

公理5就是它的普遍形式。

1
主体总是存在于行动中。我们可以考虑我们的思和行，但是不可以考虑主体本身。它不可以作为命题的对象。康德指出经验中的主体性成分，但是知性并非思维所遵从的规则。知性作为普遍逻辑，思维对于它的服从是自然对象服从自然规律那样的情况：我们无需认知到知性就能总是服从思维规律或知性地思考。就像风中滚石，它并不需要先计算种种力在它身上的作用，然后按其结果运动。不是，它的存在本身就是现象，就是种种力的作用的结果或表达。它仅仅作为单纯的客体，在风中滚动。可以设想它的运动不符合作用在它身上的力的综合的情况么？不需要作此设想。它不想，恰恰是它总是符合客观世界在它身上的作用的原因——自然而然。
但这是人对于自身的存在的诉求的理想么——单纯地作为客体？

但是人作为主体，并不能作为直接的语境。它不是语境，只能体现于一些感觉，体验：比如莫名其妙的冲动。冲动总是关乎对象的。意识总是关于对象的意识。这是直接给出来的，被带入我们的意识中来的东西。客观对象有种种，但是这一种这一个被带入我们的意识中来，就不是基于客观性自身。我们当然可以谈论一种背景上的客观性，譬如生活形式。但是我们在遵从规则的时候，难道不走神么？
遵从规则并不能满足我们。我们遵从规则，但是我们也时时走神。如同行在公路上，除了眼观前路，路边的种种还是供我们的思绪纵马奔驰。散步则是大体上可以看作取消掉规则的遵从，而仅仅留下这种思绪散漫游移的情况。可以看作一种白日梦。

康德的理性的幻缪，在于主观方面基于理性膨胀越界到客观经验里作出先验的断言。w的哲学病，则是把语言形式上的东西直接带入到思考的东西里面来，混淆了被使用的东西，需要被规范的东西，和用法规范之间的区分。

人作为主体表现在其思维，行动之中了。人使用自己的思维，就如同使用自己的身体一样。如乐手和乐器之间的关系。但是，在这里，被使用的东西，更准确说它的用法是有待人在认识中给出来的。生活形式如果不领会，那么就难以参与相应的语言游戏，不会如此这般地遵从规则以及使用语言。
反思得到的逻辑命题的意义在于，人认识到如此这般想和做。就像语言和语言的使用之间的关系，一种语言由于杰出的使用者的出现而得到提升。英语在莎士比亚写作之后，就有所不同了。德语在近代一系列哲学家的写作之后，其逻辑方面的表达能力也得到提升。使用者在使用中造就了一种语言的新的用法。而语言并非脱离用法存在，它们总是在用法为我们所使用，参与我们的经验。
逻辑在于向我们揭示生命的用法中的法则，而非行动中遵从的规则。前者指出不可不如此的，否则就是非法的，使人的思维和行动不符合理性。逻辑，理性，是一些消极的东西，分析命题。违背它们带来的是对于人作为主体自身的取消，但是服从它们仅仅是最基本的东西，还需要遵从普遍逻辑之外经验内容的规则才带来我们的经验日常。
但是，逻辑命题虽然是分析的，也只是对于相应现象的分析，对于某些人如此这般地思想和行动的分析。它们还并非就是我的日常经验。但是如果被指出，我就可以设想如此这般地思考和行动。因此，给出一种逻辑命题，就如同为人可以如此这般的思考和行为揭示一种新的可能性。在没有认知到它之先，我就难以如此这般地想和做。语言分析中的逻辑命题是对于语言的用法的揭示。认识论是对于经验的普遍形式上的可能性的揭示，但不是对于经验的经验性的揭示。本体论则是在意识的内容方面普遍形式而非经验内容的揭示。
逻辑命题的给出，如果把人的思维比作乐器，就是对于想和做的开音，去蔽。

我们可以自然而然地，风吹草长，假装能够象风中滚石那样纯粹，但不是对于客观自然的纯粹，而是做应当做的事情。但是什么是应当的？从来没有现成的这样的东西。人作为主体，就已经不可避免地要使用自身地理性。理性是行动中不可或缺的成分。正是由于理性的不可或缺，康德指出理性的谬误才具有价值。w的哲学病的针对，才有价值。人作为主体，不能割舍理性。理性就是人作为主体本身的构成。

2
对于徐的原文：
概念（函数）相等的条件在于其外延相等或值域相等，而概念外延或值域本身又被理解为抽象的逻辑对象，对象又与概念截然不同，那么，这样就会产生悖论：概念就会分为两大类：所有属于这个概念的对象和不属于这个概念的对象，那么，考虑哪些由不属于自身的概念的类所组成的类，那么它们属于还是不属于这个概念类呢？这就是两难。

第一句 概念（函数）相等的条件在于其外延相等或值域相等
概念为其外延所定义
这句的疑点 概念的外延和概念的值域看做同一个东西
：在可以为对象所谓述的概念的情况里，可以这么说。
但是，不可以为对象所谓述的概念的情况里，譬如 是红的 这个概念，不可以这么说。
我们谈到这样一个概念的东西，其外延是一个真值函数。
这里区分词项逻辑下面的概念分析，那里把概念的外延看作对象的集合或一个类。
但是，回到可以为对象所谓述的概念的情况来，概念的外延又是词项逻辑中的情况了：它不是一个真值函项，而是对象的东西。——这就是二阶概念的情况。一个可以为对象所谓述的概念，其外延就是这个对象。
这个对象是一个逻辑对象时，它作为二阶概念可以基于逻辑先天的指出。
二阶概念是对于作为其成分的一阶概念的某种性质的指出。对于一个红苹果，这苹果的颜色，它意谓红。红是这苹果的颜色这个概念的外延。
这苹果的颜色，它意谓红。可以看出来，前面概念的外延谈论的就是这个概念的意谓。一个概念可以为一个对象对谓述，这个概念根本上就是一个类似摹状词的专名。只是罗素的摹状词谈论的经验对象，而这里谈论的是逻辑对象。
对象和概念的区分是根本的，在弗雷格。对象是不能用来谓述别的东西的。如果说对象可以谓述一个概念，这里只能基于一种情况：这个概念和这个对象之间处于一种相互蕴含的情况，或者说这个概念词和这个专名之间意谓相等，或者说，这个概念意谓这个对象。这里，对象处于概念之下的情况，对象和概念之间一个处于另一个之下的情况，出现了一种特殊的情况：它们之间的位置可以倒换。这种情况恰恰就是“意谓”这个概念的语法。或者说，概念和对象之间，这时处于前者意谓后者的情况里。但是意谓指出的是符号和所指的东西之间的关系。是一种符号和事物之间的根本不同的跨越或联系。而这里的概念和对象之间，则是一种相互蕴含。或者说等价。这里可以看作表示这个概念的概念词和表示这个对象的专名之间意谓相等的情况。

这句隐含着 这里谈论的只是摹状词那样情况的概念:可以为对象所谓述，它根本上是对象，而非概念。因而，这里不讨论 红的 这样的概念。

摹状词不是二阶概念。它总是含有一个对象。罗素的父亲，罗素是专名，意谓一个对象。
但是这里的概念，自身并不含有专名为其表达式的构成成分。但是这个表达式意谓一个对象。这里，这个表达式要表明自身在讨论谈论一个二阶概念，并且这个二阶概念是一个对象，或者说它是一个逻辑对象。
任何不可以为一个逻辑对象所谓述的二阶概念，它都不能为一个不含有专名的成分的表达式所表达。
比如太阳的颜色——红。这个苹果的颜色——红，红总是基于经验而指出。苹果可以是别的颜色，正午太阳也可以不红，我们只能基于经验情况，基于这个红苹果说它的颜色是红，基于清晨日出时的太阳，说它是红的。

第二句 概念外延或值域本身又被理解为抽象的逻辑对象
在这里，概念的外延看作抽象的逻辑对象。但是，它又可以看作一个概念，基于其作为一个类。

由此：概念就会分为两大类：所有属于这个概念的对象和不属于这个概念的对象。
属于，在此就是一个对象处于这个概念之下。可以看作···处于···之下。

参考：
3 迈克•比尼原文
就其出现在弗雷格系统的情形而言，罗素悖论现在可陈述如下。
如果每一个概念都相对于所有对象来定义（如我们已经看到的，这就是弗雷格的主张），那么，每一个概念都可以看作是把所有对象划分成两类：那些处于它之下的对象，和那些不处于它之下的对象。如果概念的外延是对象（弗雷格假定它们是如此，就像数一样），那么，外延本身也可以划分成两类：那些处于该概念之下并且它们是其外延的外延（例如概念是一个外延的外延），和那些不处于该概念之下并且它们本身不是其外延的外延（例如，概念是一匹马的外延）。
但是，现在考虑概念是一个并不处于它自身之下的概念的外延。这个概念的外延是否处于该概念之下？如果它处于该概念之下，则它不处于该概念之下；如果它不处于该概念之下，则它处于该概念之下。我们已经得出了一个矛盾：这就是罗素悖论。

就是在2下面，我的理解。
2和3放到一起来读。

看这句话
概念的外延本身也可以划分成两类：那些处于该概念之下并且它们是其外延的外延（例如概念是一个外延的外延），
和那些不处于该概念之下并且它们本身不是其外延的外延（例如，概念是一匹马的外延）。

（概念是一个外延的外延：
一个外延作为概念，概念是其性质，由此，概念是一个外延的外延。一个外延作为一阶概念，其性质是二阶概念。概念就是对于一个外延这个概念而言的性质。后一个外延在指出前一个概念的性质而言的东西，总体上构成一个二阶概念。

概念是一匹马的外延：概念不处于一匹马之下，处于其下的是某匹马。
？）

如果概念的外延是对象。
这引起了所有的问题。或者说，是所有问题的根源。

弗雷格把每一个概念都相对于所有对象来定义（如我们已经看到的，这就是弗雷格的主张），那么，每一个概念都可以看作是把所有对象划分成两类：那些处于它之下的对象，和那些不处于它之下的对象。
这里可以看出，对象和概念的关系在一种前者处于后者之下这种关系里。
而前面概念的外延是对象的情况，指出的，是一种同一的关系。用语言来表达，就是表示一个概念的概念词和表示一个对象的专名之间意谓的相等。这就是算术式中相等的关系。
而一个处于另一个之下的关系和相等的关系有区别。前者表示一种从属关系，后者表示一种同一性。

概念的外延的理解，还有待指出。
弗雷格举例数的情况时，是在二阶概念的情况中把一个性质的东西对象化。

而在对于句子作出对象和概念的划分的情况中，概念的外延，指示的是一个真值。真作为逻辑。
可是，弗雷格又说真不能看作句子的性质。这怎么理解？
性质的东西看作概念，是不满足的。
但是真是满足的。看作抽象对象或逻辑对象。

考虑这个苹果的颜色，和这个苹果的蒂。摹状词是后者的情况。

1
原文这句：
如果概念的外延是对象（弗雷格假定它们是如此，就像数一样），那么，外延本身也可以划分成两类：那些处于该概念之下并且它们是其外延的外延（例如概念是一个外延的外延），和那些不处于该概念之下并且它们本身不是其外延的外延（例如，概念是一匹马的外延）。

对于外延的划分：一个外延，它处于该概念之下，并且是这个概念的外延；它不处于该概念之下，并且不是这个概念的外延。
在这里，外延看作实体x这样的对象。这里是对于对象域作出划分。
把分号前的这个句子合起来看，就是指出：概念的外延处于概念之下。
后面指出的是：不是概念的外延的东西，不处于概念之下。
这个句子合起来，就在说这么一件事情：把概念的外延和处于概念之下的对象看作同一个东西。它们总是同时为真，或同时为假。

考虑概念——“与 ‘与自身不等’这个概念的外延 等数的”，这个概念的外延指出的是一个二阶概念：一个数——0。
那么处于这个概念之下的对象是些什么？集合/类x，其下没有项。或者说，任何空项类。譬如：弗雷格的女儿。弗雷格没有女儿。“与‘弗雷格的女儿’这个概念等数的”这个概念的外延，指出的是属于“弗雷格的女儿”这个概念的一个数，它是0。

我们说 弗雷格的养子 指谓 任意x，他是男子，弗雷格领养了他。有且仅有一个人处于这个类之下。因此，我们说 “与“弗雷格的养子”这个概念等数的”这个概念的外延，指谓的就是属于“弗雷格的养子”这个概念的一个数，它是1。

考虑概念的外延和处于概念之下的对象。
算术基础中指出的，就其外延谈论的概念，和就对象处于其下谈论的概念，不是同一个概念。
在弗雷格的养子的例子里，我们在关于一个数的谈论里，我们基于 “与“弗雷格的养子”这个概念等数的”这个概念，就其外延而言指出一个数。同时，我们基于属于“弗雷格的养子”这个概念，谈论同一个数。但是，这里是两个不同的概念。前者是一个二阶概念，后者是一个一阶概念，一个摹状词。
0阶概念怎么理解：养子 或红的 这样的概念？

“与“弗雷格的养子”这个概念等数的”这个概念，还是 “与“弗雷格的养子”这个概念等数的”这个概念的外延 作为概念，是二阶概念？
是前者。
弗雷格：属于F这个概念的数，是“与F这个概念等数的”这个概念的外延。

——弗雷格在此用概念表示概念的外延。他把它们看作同一个东西。弗雷格要指出的，应该是“与F这个概念等数的”，和“与F这个概念的外延等数的”，谈论同一个东西。

这里存疑？？：
这就是一个概念在根本上是对象的情况，它可以为其外延所谓述。所以，这里的概念是类似摹状词的情况，概念在此在形式上是概念的，但是它意谓对象。
由此，“与F这个概念等数的”这个概念的外延，也可以和这个概念相混用。弗雷格在此谈论一个概念时，谈论的就是其外延的东西。

属于F这个概念的数。还是属于F这个概念的外延的数？
数是属于一个概念，还是属于一个概念的外延？
这些苹果的数是5。这些苹果在此就是摹状词，一个指称词组。它指谓对象。在此，看到这个概念看作指称词组的情况。谈论这个概念时，我们谈论的是它指谓或意谓的对象。那么，这个概念和对象之间是一种指谓关系，或意谓关系，而非通常一阶概念的对象处于其下的关系。它根本上是对象。一个数是属于作为对象的这些苹果。在此，概念和对象同一了，不作区别。
或者说，这个概念的意谓是否可以看作这个概念的外延？

=========================================
从一点来看：
一个概念F，有一个数属于它，这个概念根本上就是对象的情况，它可以为对象所谓述。
因为F根本上是对象，所以其外延，或函数值，并非一个真值。对象没有外延。概念的外延是对象。这里，谈论这个概念的外延时，是否就是在其作为指称词组的意谓而言谈论对象。在此，外延和意谓语法相等。
“与F这个概念等数的”这个概念的外延。与（）等数的，与（）在数上相等的，怎么考虑其外延的东西？外延即函数值。与F这个概念在数上相等，可以有两种补充：
一种，（）与F这个概念在数上相等，用一个G补充空位（），给出的是一个真值函项。
另一种，任意x，x与F这个概念在数上相等，属于x的一个数（）。这个数就是”与F这个概念在数上相等“这个概念或函数所指出的值——一个对象。
因为这里谈论的，不是补充“（）与F这个概念在数上相等”的是一个G，它产生一个真值函项的情况。而是任意一个x补充这个概念之后句子为真的情况的进一步考虑。这时，就是一种语词表达式的句子基于真的指出而反过来指称词组化的情况。这时，它谈论的是一个并非作为真值的对象。
这就是“与F这个概念等数的”这个概念的外延的考虑。

这里，我们总是基于语境给出的东西来考虑有待进一步考虑的东西。
在“（）与F这个概念在数上相等”的情况中，这是一个真值函项。真还是有待空位上对象的东西的给出来而被确定的东西。
在”与F这个概念在数上相等“这个概念的外延中，是任意x，它补充“（）与F这个概念在数上相等”的空位后，句子意谓真的情况下，这个句子可以进一步谈论的或指谓的东西，一个对象，一个数的对象。
==================================================

所以回到1，
基于公理V，谈论的是把概念的外延和处于概念之下的对象看作同一个东西。
这个公理所谈论的东西，和弗雷格在引出数的定义时所基于的：属于F这个概念的数，是“与F这个概念等数的”这个概念的外延。
它们不是同一个命题。或者说，它们不是关于同一个东西的谈论。彼此之间没有蕴含关系。

也就是说，公理5并不能作为基于逻辑给出数的情况的根据。
弗雷格关于一个数的定义，如果要基于一个公理的话，公理V目前的写法就是不满足需要的，不能作为给出数的定义的逻辑前提。
满足需要的改写是，就是考虑弗雷格关于数的定义句子本身：
属于F这个概念的数，是“与F这个概念等数的”这个概念的外延。

但是由于这个句子中，F这个概念和"与F这个概念等数的“这个概念是两个概念，它们之间不能混淆，不能看作一个概念。一个一阶概念和关于这个概念的二阶概念是两码事。
考虑摹状词中罗素和罗素的父亲这两个表达式之间的不能混淆。
这个苹果和这个苹果的颜色之间的区别。
这些苹果和这些苹果的数之间的区别。
由此，它就不符合一种弗雷格的对象和概念的划分的普遍逻辑的考虑。因此，这里具有一种基底的东西的非逻辑性。

或者说，公理V本身就是成问题的。
罗素指出其问题也是合理的。
公理V和它要支持的弗雷格关于数的定义，逻辑规则和其要论证的目的的句子之间本身就已经是相互错失的了。

算术基础，要另外寻找逻辑基础。
但是如果公理V可以支持数的给出，那么，公理5为数给出的是怎样一个逻辑基础？在这里可以反思数对于逻辑基础的需要的某种情况。

没有论证的命题，其真成问题。有一种启示的意义。
不可论证的命题呢？不能验证的，就是证伪的么？