三角函数\omega 卡根

作者: 彼岸算术研究中心 | 来源:发表于2020-04-30 10:13 被阅读0次

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原理

此类型题就是根据题意 , 给定的区间宽度 $| b - a |$ 与函数周期 $nT ( n ∈ Z )$ 的关系建立即可 .

定理 : 任意对称轴 ( 对称中心 ) 之间的间距为 $\frac{nT}{2}$ 最大值与最小值的水平间距为

任意对称轴与对称中心之间的间距为 $\frac{(2n-1)T}{4}$ 以上情况当 n = 1 时 ω取得最小值 .

例1

( 2019 ∙新课标Ⅱ ) 若 $x_{1}= \frac{ \pi }{4} , x_{2}= \frac{3 \pi }{4}$ 是函数 $f ( x ) = \sin ω x ( ω > 0 )$ 两个相邻的极值点 , 则 $ω$ =

A. 2 B. $\dfrac{3}{2}$ C.1 D. $\dfrac{1}{2}$

例2

( 2017 ·天津 ) 设函数 $f ( x ) = 2 \sin ( ω x + φ ) , x ∈ R ,$ 其中 $ω > 0 , | φ | 若<img class=$ ,且 f ( x ) 的最小正周期大于 2 π , 则 ( )

A . $\omega = \frac{2}{3} , \varphi = \frac{ \pi }{12}$ B . $\omega = \frac{2}{3} , \varphi =- \frac{11 \pi }{12}$

C . $\omega = \frac{1}{3} , \varphi =- \frac{11 \pi }{24}$ D . $\omega = \frac{1}{3} , \varphi = \frac{7 \pi }{24}$

例3

( 2015天津 ) 已知函数 $f ( x ) = \sin ω x + \cos ω x ( ω > 0 ) , x ∈ R ,$ 若函数 f ( x ) 在区间 $( - ω , ω )$ 内单调递增 , 且函数 y = f ( x ) 的图象关于直线 x = ω对称 , 则 ω的值为

例4

( 2014 ∙北京 ) 设函数 $f ( x ) = Asin ( ω x + φ ) ( A , ω , φ是常数 , A > 0 , ω > 0 )$ 若 f ( x ) 在区间 $\left[ \frac{ \pi }{6}, \frac{ \pi }{2} \right]$ 上具有单调性 , 且 $f( \frac{ \pi }{2})=f( \frac{2 \pi }{3})=-f( \frac{ \pi }{6}) ,$ 则 f ( x ) 的最小正周期为.

总结

注意 : 表一中要求对 y = sinx 卡住根 $x _0 ,$ 再转换为 $y = A\sin ( ax + φ )$ 的根为 x , 两者之间通过 $x= \frac{x_{0}- \varphi }{ \omega }$ 来转换 .

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原理

此类型题就是根据题意 , 给定的区间宽度 $| b - a |$ 与函数周期 $nT ( n ∈ Z )$ 的关系建立即可 .

定理 : 任意对称轴 ( 对称中心 ) 之间的间距为 $\frac{nT}{2}$ 最大值与最小值的水平间距为

任意对称轴与对称中心之间的间距为 $\frac{(2n-1)T}{4}$ 以上情况当 n = 1 时 ω取得最小值 .

例1

( 2019 ∙新课标Ⅱ ) 若 $x_{1}= \frac{ \pi }{4} , x_{2}= \frac{3 \pi }{4}$ 是函数 $f ( x ) = \sin ω x ( ω > 0 )$ 两个相邻的极值点 , 则 $ω$ =

A. 2 B. $\dfrac{3}{2}$ C.1 D. $\dfrac{1}{2}$

例2

( 2017 ·天津 ) 设函数 $f ( x ) = 2 \sin ( ω x + φ ) , x ∈ R ,$ 其中 $ω > 0 , | φ | 若<img class=$ ,且 f ( x ) 的最小正周期大于 2 π , 则 ( )

A . $\omega = \frac{2}{3} , \varphi = \frac{ \pi }{12}$ B . $\omega = \frac{2}{3} , \varphi =- \frac{11 \pi }{12}$

C . $\omega = \frac{1}{3} , \varphi =- \frac{11 \pi }{24}$ D . $\omega = \frac{1}{3} , \varphi = \frac{7 \pi }{24}$

例3

( 2015天津 ) 已知函数 $f ( x ) = \sin ω x + \cos ω x ( ω > 0 ) , x ∈ R ,$ 若函数 f ( x ) 在区间 $( - ω , ω )$ 内单调递增 , 且函数 y = f ( x ) 的图象关于直线 x = ω对称 , 则 ω的值为

例4

( 2014 ∙北京 ) 设函数 $f ( x ) = Asin ( ω x + φ ) ( A , ω , φ是常数 , A > 0 , ω > 0 )$ 若 f ( x ) 在区间 $\left[ \frac{ \pi }{6}, \frac{ \pi }{2} \right]$ 上具有单调性 , 且 $f( \frac{ \pi }{2})=f( \frac{2 \pi }{3})=-f( \frac{ \pi }{6}) ,$ 则 f ( x ) 的最小正周期为.

总结

注意 : 表一中要求对 y = sinx 卡住根 $x _0 ,$ 再转换为 $y = A\sin ( ax + φ )$ 的根为 x , 两者之间通过 $x= \frac{x_{0}- \varphi }{ \omega }$ 来转换 .

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任意对称轴与对称中心之间的间距为 以上情况当 n = 1 时 ω取得最小值 .

例1

( 2019 ∙新课标Ⅱ ) 若 是函数两个相邻的极值点 , 则 =

A. 2 B. C.1 D.

例2

( 2017 ·天津 ) 设函数 其中 ,且 f ( x ) 的最小正周期大于 2 π , 则 ( )

A . B .

C . D .

例3

( 2015天津 ) 已知函数 若函数 f ( x ) 在区间 内单调递增 , 且函数 y = f ( x ) 的图象关于直线 x = ω对称 , 则 ω的值为

例4

( 2014 ∙北京 ) 设函数若 f ( x ) 在区间 上具有单调性 , 且 则 f ( x ) 的最小正周期为.

总结

注意 : 表一中要求对 y = sinx 卡住根 再转换为 的根为 x , 两者之间通过 来转换 .

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