在投资组合问题的学习中，发现投资者在选择资产时会在收益和风险之间做出一个平衡：当风险相同时，会选择预期收益较高的资产；而预期收益一样时，会选择风险最低的资产。即通过“均值-方差”的框架来构建投资组合模型，并对资产收益率作出分析。

资本资产定价模型，则是基于一系列假设条件而成立的。（这些条件在实际中可能并不符合现实的标准，所以资本资产定价模型也曾一度遭到质疑。） 假设条件：
投资者都是理性的，会在资产收益和风险之间选择一个制衡点
市场的信息是公开免费的，所有人都可以及时获得信息并在相同的期限中作出决策
影响投资决策的主要因素是期望收益率和风险，投资者主要依据期望收益率和标准差来选择证券
投资者具有相同的投资行为，即有对任意资产的预期收益率、市场的风险有着相同的看法，或叫相同的预期
市场中有且存在一种无风险利率
存在卖空或买空，也可以无限的卖空
资产可以无限分割
投资者是价格接受者，市场是完全竞争的
资本资产定价模型的核心假设是认为市场满足完全、无摩擦和信息完会对称的条件，市场中的投资人都是 Markowitz 理论中的理性经济人。

切线组合
投资者的可行区域是由曲线围成的部分，而最优投资组合则是有效前沿上的点。（因为在相同风险下，曲线上的点比区域内任何点的期望收益都大，同理相同收益，线上的点比任意点的风险小，如图所示，M 点的收益高于 A 点）。

image.png
因为所有线上的组合都有风险的，在不考虑无风险投资的情况下，所有有效前沿上的组合都可以看作是最优组合。但是，在加入无风险资产 C 后，（假设只有一种无风险资产 C ，收益是 r0，如图所示）。
image.png
CM 与风险资产有效边界切点证券组合 M 的特征:
1.切点组合 M 是有效组合中唯一一个不含无风险证券而仅由风险证券构成的组合；
2.有效边界 CM 上的任意证券组合，即有效组合，均可视为无风险证券 C 与 M 的再组合；
3.切点证券组合 M 完全由市场确定，与投资者的偏好无关。

市场组合
市场中所有风险资产的组合，每种风险资产在该组合资产的权重是这种风险资产的市值占所有风险资产市值的比重。同时是由风险证券构成，且其成员证券的投资比例与整个市场上风险证券的相对市值比例一致的证券组合。

资本市场线
在投资组合中，我们获得一个最优组合 M,即为切点组合，如果加上无风险投资，则可以确定一条有效的投资组合 CM，从 C 开始穿过 M 点所构成的这条射线就是资本市场线，用来描述有效组合中收益合风险之间的关系。

image.png
其中，包括 M 点以外的射线部分，是因为允许卖空和买空的假设条件下，投资者对于风险厌恶程度的不同，通过借入或贷出无风险资金。因此，当投资者对风险厌恶，可能就会选择 CM 线段中的某一点；相反，如果投资者追逐风险，对风险厌恶很轻，那么他可能会选择在 M 点之外射线上的某一点。
根据有效组合中的收益和风险之间的关系，很容易列出下面资本市场线的公式：
此处输入图片的描述
其中rm-r0 是风险收益部分

资产定价模型
对于单个资产投资来讲，受到市场组合的影响，在资产定价模型种，我们采用一个 β 系数来表示收益率相对于市场组合的收益率的敏感度（或叫联动性）。
根据前面的假设条件以及有效投资组合的公式，可以推导出 CAPM 模型的具体形式：

此处输入图片的描述
ri: 证券 i 的期望收益 rm：市场组合的期望收益 r0：无风险资产收益
image.png
--β 系数
用来表示单只证券和市场组合的联动性，衡量单个证券的风险
β > 1 时，在市场上升时，股票的升幅较大
β < 1 时，在市场下降时，股票的跌幅较小
β = 1 时，与市场的的波动一致，较为中立
--两种风险
系统风险 是由外部因素引起的风险，例如：通货膨胀，政治事件，国民生产等等。这些风险是不能通过组合来回避的。
非系统风险 是指有组合内部的结构所引起的风险，例如：两个股票是正相关，那么就会出现连带性，一个股票受波动性影响，另一个也会随之受到波动；反之，若为负相关，则两只股票就会相互抵消。这类的风险是可以通过组合投资进行回避的。

数据处理

数据获取

> library(zoo)
> library(xts)
> library(TTR)
> library(quantmod)
> getSymbols(c('AAPL', 'SINA', '^GSPC'), from='2010-01-01')
[1] "AAPL"  "SINA"  "^GSPC"

计算收益率
我们需要求出投资交易的收益率来作为方差表示投资风险，所以首先将交易数据处理为收益率数据。

> AAPL_ret <- dailyReturn(AAPL)
> SINA_ret <- dailyReturn(SINA)
> GSPC_ret <- dailyReturn(GSPC)
> data_ret <- merge(AAPL_ret, SINA_ret, GSPC_ret)
> names(data_ret) <- c('APPL', 'SINA', 'GSPC')
> head(data_ret)
                   APPL         SINA         GSPC
2010-01-04  0.002717481  0.001313220 0.0147147759
2010-01-05  0.001728854  0.010054623 0.0031156762
2010-01-06 -0.015906242 -0.004544449 0.0005455205
2010-01-07 -0.001848661 -0.018695674 0.0040012012
2010-01-08  0.006648305 -0.005095237 0.0028817272
2010-01-11 -0.008821493  0.021376063 0.0017467554
> tail(data_ret)
                    APPL         SINA         GSPC
2020-11-11  0.0303526513 0.0062863794  0.007651855
2020-11-12 -0.0023432840 0.0006940999 -0.009978532
2020-11-13  0.0004194531 0.0004624277  0.013610335
2020-11-16  0.0087204510 0.0006932979  0.011648051
2020-11-17 -0.0075644553 0.0004619169 -0.004791926
2020-11-18 -0.0113912389 0.0000000000 -0.011563830

计算资产平均年化收益率
我们假定一个无风险收益率为 4 %，计算 3 个资产的平均年化收益率。

> library(PerformanceAnalytics)
> Rf <- .04/12
> results <- table.AnnualizedReturns(data_ret, Rf=Rf)
> results
                              APPL    SINA    GSPC
Annualized Return           0.2866 -0.0049  0.1128
Annualized Std Dev          0.2833  0.4715  0.1756
Annualized Sharpe (Rf=84%) -1.5708 -1.2113 -2.9616

统计分析

收益率基本统计量

> library(timeDate)
> library(timeSeries)
> library(fBasics)
> basicStats(data_ret)
                   APPL        SINA        GSPC
nobs        2740.000000 2740.000000 2740.000000
NAs            0.000000    0.000000    0.000000
Minimum       -0.128647   -0.187455   -0.119841
Maximum        0.119808    0.232752    0.093828
1. Quartile   -0.007123   -0.013874   -0.003516
3. Quartile    0.010356    0.013653    0.005360
Mean           0.001160    0.000419    0.000486
Median         0.000899   -0.000388    0.000666
Sum            3.177928    1.148497    1.330387
SE Mean        0.000341    0.000567    0.000211
LCL Mean       0.000491   -0.000694    0.000071
UCL Mean       0.001828    0.001532    0.000900
Variance       0.000318    0.000882    0.000122
Stdev          0.017844    0.029705    0.011064
Skewness      -0.104946    0.431119   -0.575740
Kurtosis       6.083514    5.652916   15.049212

从统计量大概能够看出，股票总量是 1950 ，没有缺失值，各股票的收益率最大最小值等。
股票日度收益率

> chartSeries(AAPL_ret)

image.png

> chartSeries(SINA_ret)

image.png

> chartSeries(GSPC_ret)

image.png
相关性分析

library(PerformanceAnalytics)
chart.Correlation(data_ret, histogram=T, pch=19)

image.png

对 3 个股票进行相关性分析，发现 AAPL 和 GSPC 相关系数为 0.55，是 3 只股票中比较相关的。

β系数

简单计算β系数

> betaA <- cov(AAPL_ret-rf, GSPC_ret-rf)/var(GSPC_ret-rf)
> betaA
              daily.returns
daily.returns      1.066827
> betaS <- cov(SINA_ret-rf, GSPC_ret-rf)/var(GSPC_ret-rf)
> betaS
              daily.returns
daily.returns      1.093403

函数计算

> CAPM.beta(data_ret[,1:2], data_ret[,3], Rf=rf)
               APPL     SINA
Beta: GSPC 1.066827 1.093403

综上，3只股票中，SINA 的 Beta 是最大的，在上升时期 beta 越大，获得的市场收益也会越大。