一.

一个黑色袋子中装有5个红球，5个蓝球，5个黄球，从中抽取三次，每次抽一个球，取完不放回，则每种颜色球各得一个的概率是多少?

答案: 25/91

分析:

• 最开始的时候从袋子里抽出0个球，所以第一次不管怎么选都会选一个和以前颜色不同的球，所以第一次选择颜色不同的球概率是1.

• 第一次选择之后，还剩下14个球，其中，第一个选中的球的那个颜色的还剩下4个，剩下的两种颜色的球个数不变，都为5，然后选一个与第一个颜色不同的概率是：10/14，这是第二次选择

• 第二次选择之后，还剩下13个球，其中，第一次和第二次选中颜色的球分别还剩下4个，剩下的没选到颜色的球有5个，这次选中还没选中的颜色的球的概率是：5/13，这是第三次选择。

• 所以选择三个不同颜色总的概率是: 1 * (10/14) * (5/13) = 25/91。

二.

某航空公司有M个城市之间的全连通运营线路，最近业务扩张，新增了N（>1)个城市。为了保持其全连通运营的特色，公司新增了58种单程票（往与返各算一种单程票，没有联程票）；那么扩张后，该航空公司有多少个城市间的运营能力。

答案: 16

分析:

• 原来M个城市，需要C(M, 2)条航线，往返票需要2 * C(M * 2); (备注:C (M * 2): 就相当于从M个城市，选取2个城市的组合)。

• 增加N个城市后需要C (M + N , 2)条航线。往返票就需要2 * C(M+N, 2).

• 所以 2 * (C (M + N), 2 ) - C (M , 2) ) = 58; 换算得 N(N+2M-1) = 58

• 因为M, N都是正整数， 且N > 1，对58因数分解得到N = 2， N+2M-1 = 29；

• 得到M = 14， N = 2； M + N = 16.

三

一个车队总长500米正在前进，其中有一辆摩托车从队尾行驶到队头，到达后又从队头走到队尾，这时，车队正好前进了1000米。已知车队的速度和摩托车的速度保持不变，问摩托车这段时间总共开了约多少米？
答案: 1618米

分析:

• 设X为车队的速度， Y为摩托车的速度。

• 追队头时， 时间为: 500/(Y-X); 追队尾时，时间为:500/(Y+X); 总时间: 1000/x

• 所以有如下表达式: 500/(Y-X)+500/(Y+X)=1000/X，

• 解得: Y ^ 2 = X ^ 2 + XY --> Y/X = 1.618.

• 因为时间一样，路程比=速度比，所以路程=1000 * 1.618 = 1618.

四.

一个合法的表达式由()包围，()可以嵌套和连接，如(())()也是合法 表达式；现在有 6 对() ，它们可以组成的合法表达式的个数有多少个？
答案: 132

分析:
这是一个卡特兰数列具体详见:卡特兰数

卡特兰数公式: c(2n,n)-c(2n,n+1)=924-792=132

五.

在一个6*6的网格中放置4个相同的棋子，要求4个棋子两两不能同行同列，请问有多少种放置方法？
答案: 129600

分析:

• 放置第一颗棋子的时候，有6 * 6 = 36种放法。

• 放置第二颗棋子的时候，有 5 * 5 = 25 种放法。

• 放置第三颗棋子的时候，有 4 * 4 = 16 种放法。

• 放置第四颗棋子的时候， 有 3 * 3 = 9 种放法。

• 所以总计有: 36 * 25 * 16 * 9 = 129600种放法。

六.

小王、小张、小赵三个人是好朋友，他们中间其中一个人下海经商，一个人考上了重点大学，一个人参军了。
此外他们还知道以下条件：小赵的年龄比士兵的大；大学生的年龄比小张小；小王的年龄和大学生的年龄不一样。请推出这三个人中谁是商人？谁是大学生？谁是士兵？

答案: 小张是商人，小赵是大学生，小王是士兵

分析:

• 大学生的年龄比小张小；小王的年龄和大学生的年龄不一样，这两点可以确定小赵是大学生

• 又因为小赵的年龄比士兵的大；大学生的年龄比小张小 同时小赵是大学生，可以推出小王是士兵。

• 所以小张是商人