欧拉公式

欧拉公式

作者: spraysss | 来源:发表于2019-11-24 17:49 被阅读0次

Euler’s Formula

个人觉得欧拉公式应该是数学上最美妙的公式了，没有之一。它将自然对数，虚数，三角函数，双曲函数，圆周率 $\pi$ 联系在了一起，欧拉公式一般形式如下：

$e^{ix} =cosx+isinx$

敬仰欧拉大神！

欧拉公式的证明步骤

令 $F(x)=(cosx-isinx)e^{ix}$
对F(x)进行求导
$\frac {d}{dx} F(x)=(cosx-isinx)e^{ix}i+(−sinx−icosx)e^{ix}=0$
由于 $F'(x)=0$ ，所以 $F(x)$ 恒等于一个常数,即 $F(x)=C$
所以 $F(x)=F(0)=(cos0−isin0)e^{i0} =1$
即 $1 = (cos x − i sin x)e^{ix}$
两边同时乘以 $(cos x + i sin x)$
$cosx+isinx =(cosx+isinx)(cosx−isinx)e^{ix}$
$cosx+isinx =(cos2 x+sin2 x)e^{ix}$
$cos x + i sin x =e^{ix}$

欧拉公式相关推论

$e^{ix} =cosx + isinx$
$e^{−ix} =cosx − isinx$ （带入-x）

通过上述两个等式，解出sinx和cosx

$sinx=\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$
$cosx=\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}$

将 $\pi$ 带入欧拉公式，有

$e^{i\pi}+1=0$

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