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《几何原本》导读3|解读第1卷中的公理

《几何原本》导读3|解读第1卷中的公理

作者: 可达数学 | 来源:发表于2020-05-15 14:28 被阅读0次

    《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作. 又称《原本》, 它是欧洲数学的基础, 被广泛的认为是历史上最成功的教科书. 在《几何原本》中, 欧几里得使用了公理化的方法. 这一方法后来成了建立任何知识体系的典范, 在差不多二千年间, 被奉为必须遵守的严密思维的范例. 这本著作是欧几里得几何的基础, 在西方是仅次于《圣经》而流传最广的书籍.

    《几何原本》的第I卷几何基础由23个定义, 5个公设5个公理以及由定义、公设、公理出发, 通过论证得出的48个命题组成. 本次我们要导读的是5个公理.

    公理(Common Notions)和公设一样, 是无需证明即被认为是正确的命题或者陈述, 但公理主要说的是量与量之间的关系.

    5个公理

    公理 1

    Things which equal the same thing also equal one another.

    等于同一量的量相等.

    公理 2

    If equals are added to equals, then the wholes are equal.

    等量与等量的和相等.

    公理 3

    If equals are subtracted from equals, then the remainders are equal.

    等量与等量的差相等.

    公理 4

    Things which coincide with one another equal one another.

    彼此重合的物体全等.

    公理 5

    The whole is greater than the part.

    整体大于部分.

    导读注解

    这5个公理说的都是量与量之间的大小关系, 比如线段的长度、角的大小等. 只有同一种类的量可以比较大小或者相加, 不同种类的量不能相加或者比较大小。比如线段和角度就不能相加或者比较大小.

    特别需要说明的是, 公理4所说的全等指的是两个物理通过移动可以完全重合.

    对于公理5, 我们需要解释一下大于的含义. 如果 ABC 的和, 我们就说
    BA 的一部分, 其中 C 是另一个量的大小. 用数学的语言表示就是, 如果 A=B+C, 则 A>B, 这里隐含了 C>0 这一条件.

    《原本》中还使用了很多没有列在公理中的大小关系, 比如:

    1. 如果 x \neq y, 则 x > y 或者 x < y.
    2. x < yx = y 不能同时成立.
    3. 如果不是x \neq y, 则 x = y.
    4. 如果 x < y 并且 y = z, 则 x < z.
    5. 如果 x < y 并且 y < z, 则 x < z.
    6. 如果 x = y 并且 y < z, 则 x < z.
    7. 如果 x < y, 则 x + z < y + z.
    8. 如果不是 x > y, 则 x = y 或者 x < y.
    9. 如果不是 x < y 也不是 x = y, 则 x > y.
    10. 如果 2x = 2y, 则 x = y.
    11. 如果 x = y, 则 2x = 2y.

    上面的第3条其实是逻辑当中的双重否定;第11条是加法的一个特殊情形(注意 2x 其实就是 x+x ). 第1、8和9条说的是一个内容, 即 x< yx > yx=y 至少有一种成立;第2条说的则是上述三种情况只能有一种成立.

    现代数学体系中量的关系

    在现代数学体系里, 等价关系满足下列三个性质:

    1. 反身性: 对任意 x, x = x.
    2. 对称性: 若 x = y, 则 y = x.
    3. 传递性: 若 x = yy = z, 则 x = z.

    加法满足以下三个性质

    1. 如果 x = y, 则 x + z = y + z, 并且 z + x = z + y.
    2. 结合律:对于每个 x, yz, (x + y)+ z = x +(y + z).
    3. 交换律:对于每个 x, y, x + y = y + x.

    大小关系满足以下性质:

    1. 如果 x < y 并且 y = z, 则 x < z.
    2. 如果 x = y 并且 y < z, 则 x < z.
    3. 如果 x < y 并且 y < z, 则 x < z.
    4. 如果 x < y, 则 x + z < y + z, 并且 z + x < z + y.

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