实数

• 整数->分数(有理数)->实数(并非简单的有理数+非有理数）

数轴概念与实数同时产生。

整数、有理数到实数

• 戴德金 分划

分划：即完全无重复的将全集分成子集，不同子集中的元素间要有明确的大小关系，如子集A中的元素都大于子集B中的元素，可以想象对数轴进行分割。

戴德金分划
子集间有明确大小关系

• 无理数诞生

划分点在确定的实数为有理分化，或者划分点在一个不确定的实数（比如圆周率，只能更精确，但没有最终确定值）为无理分划。

两种分化三种特征

• 实数诞生

无理分划+有理分划

• 分划与数的对应

一个分划可看做一个数，数能比大小，故而分划也可以比大小。可理解为分划与数是等价的同一个概念。

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• 单调有界序列存在极限

必须在实数概念下，应为它稠密。否则如果仅考虑有理数，如果“极限”存在于圆周率，那就没极限了，因为圆周率不是有理数。

无穷元素量集合间元素数量多少的比较

• 势

  
  无穷元素个数比较&势
• 等势（非等势）

两个集合间元素可配对就等势，否则。

等势

自然数和整数竟然等势。注意整数的列举方式，巧妙！虽然自然数真包含于整数，但它们的势相同（依照势的定义），就这么任性！因此，包含关系是不能判断势的。

自然数与整数等势
希尔伯特旅馆，住满人仍可以继续接纳新住客。
希尔伯特旅馆

整数与有理数势相同！又一个精妙的比较,p/q。

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自然数与有理数势相同！还是那么精妙！K=|p|+|q|。
整数的列举方式K，对应一个个有理数
自然数与有理数对应

可列

• 集合中元素可以与自然数一一对应。