分析力学基本原理介绍7.4：循环坐标和守恒定理

作者: 有限与微小的面包 | 来源:发表于2020-01-09 16:44 被阅读0次

$\bullet$ 根据之前的内容我们了解到，循环坐标所对应的共轭动量守恒：

$p_j = \frac{\partial \mathscr{L}} {\partial \dot{q}_j}$

使用拉格朗日方程和哈密顿方程，我们也可以得到相同的结论：

$\dot{p}_j = \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial q_j} = -\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial q_j}$

所以，共轭于正则动量的坐标如果是循环坐标：

$\dot{p}_j = \frac{\partial\mathscr{L}}{\partial q_j} = 0 \implies -\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial q_j} = 0$

我们发现，拉格朗日函数若不含有循环坐标，哈密顿函数将同样不含有该坐标。换句话说，如果某一广义坐标没有显性出现在哈密顿函数中，其对应的正则动量将是一个守恒量。所有之前关于拉格朗日体系的守恒定理均可原封不动地（除了把 $\mathscr{L}$ 替换成 $\mathscr{H}$ ）应用在哈密顿体系中。

$\bullet$ 至于能量守恒，我们在拉格朗日体系中时了解过能量函数 $h$ 。若系统的拉格朗日函数不显含时间 $t$ ，系统的哈密顿函数将是一个不依赖时间的常数。

该结论也可通过直接求哈密顿函数对时间的全导得到：

$\begin{align*}\frac{d\mathscr{H}}{dt} &= \sum_i\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial q_i}\dot{q_i} + \sum_i\frac{\partial \mathscr{H}}{\partial p_i}\dot{p_i} + \frac{\partial\mathscr{H}}{\partial t}\\&= \sum_i-\dot{p_i}\dot{q_i} + \sum_i\dot{q_i}\dot{p_i} + \frac{\partial \mathscr{H}}{\partial t}\end{align*}$

又因为

$\mathscr{H} = \sum_i\dot{q_i}p_i - \mathscr{L}(\mathbf{q},\mathbf{\dot{q}},t)$

于是

$\frac{d\mathscr{H}}{dt} = \frac{\partial\mathscr{H}}{\partial t} = -\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial t}$

所以，如果拉格朗日函数不含有时间，那么哈密顿函数也将同样不显含时间。

$\bullet$ 关于哈密顿函数的形式，在之前也同样提到过：如果涉及到广义坐标的变换方程不显含时间 $t$ ，并且势函数不依赖广义速度，哈密顿函数将同样具有总能量 $T + V$ 的形式。但需要注意的是，哈密顿函数是否表示总能量，于其是否为守恒量完全是两个概念。两个概念彼此并不冲突，一个条件被满足并不意味着另一个就会被满足。即，有些情况下，哈密顿函数不显含时间，但不具有总能量的形式。

$\bullet$ 除此之外，我们知道，广义坐标的选取不会影响到拉格朗日函数最后的数值大小（尽管可能改变它的形式，即不再是 $T - V$ ）；与拉格朗日函数不同，哈密顿函数的数值大小和形式都取决于广义坐标的选取。也就是说，很多时候，哈密顿函数完全有可能在一组广义坐标下守恒，而在另一组却不守恒；在一组坐标下具有形式 $T + V$ ，而在另一组却不具有总能量的形式。

（例）

为了更进一步理解哈密顿函数这一特点，让我们来看一个很简单的例子：

一个质量为 $m$ 的质点，被连接在一根劲度系数为 $k$ 的弹簧一端；弹簧另一端被固定在了一个，在外力驱动下，沿 $x$ 轴以常速度 $v_0$ 水平移动的小车上。

$\bullet$ 为了方便，我们将原点选为小车在 $t = 0$ 的位置，并将质点的水平位置 $x$ 选为广义坐标。

很明显，拉格朗日函数为：

$\mathscr{L}(x,\dot{x},t) = T - V = \frac{m\dot{x}^2}{2} - \frac{k}{2}(x - v_0 t)^2$

$\bullet$ 运动方程由拉格朗日方程得到：

$\frac{d}{dt}\frac{\partial\mathscr{L}}{\partial \dot{x}} = \frac{\partial \mathscr{L}}{\partial x} \implies m\ddot{x} = -k(x - v_0 t)$

解该运动方程，设地面参考系为 $\mathscr{O}$ ，不妨另选一个参考系 $\mathscr{O}^{\prime}$ ，它相对地面参考系具有速度 $V = v_0$ ，即，该参考系与小车保持相对静止。

使用伽利略变换：

$x^{\prime} = x - v_0 t;\quad \ddot{x}^{\prime} = \ddot{x}$

这样一来，运动方程就变为了：

$m\ddot{x}^{\prime} = -kx^{\prime}$

这是一个二阶线性齐次微分方程。

令 $\omega^2 = \frac{k}{m}$ ，特征方程变为： $\lambda^2 +\omega^2 = 0$

它有两个复根： $\lambda_1 = i\omega$ ， $\lambda_2 = -i\omega$

利用欧拉恒等式，通解可以表示为三角函数的形式：

$x^{\prime} = Ce^{i\omega t} + De^{-i\omega t} = A\cos(\omega t - \phi)$ ； $A \in \rm{I\!R}$ ， $C \equiv \frac{1}{2}Ae^{-i\phi}$ ， $D \equiv \frac{1}{2}Ae^{i\phi}$

可见，对于小车保持相对静止的观测者而言（坐在小车上），质点只是单纯地在做简谐振荡，而这一结论也同样符合伽利略相对论原理。

$\bullet$ 了解了该系统的大致运动情况，我们来看看哈密顿函数。

由于这时的广义坐标是笛卡尔坐标，势函数不显含广义速度，所以哈密顿函数将具有总能量的形式：

$\mathscr{H}(x,p,t) = T + V = \frac{p^2}{2m} + \frac{k}{2}(x - v_0 t)^2$

可见，这种情况下的哈密顿函数虽然代表总能量，但由于显含时间，所以并不是一个守恒量。原因在于，能量必须时刻流入并流出系统，来保证小车始终能够克服谐振子的运动并保持匀速。（系统内部存在一个非定常约束，此时的约束力做实功）。

$\bullet$ 如果一开始就使用参考系 $\mathscr{O}^{\prime}$ ，拉格朗日将变成：

$\begin{align*}\mathscr{L}(x^{\prime},\dot{x^{\prime}}) &= \frac{m}{2}(\dot{x^{\prime}} + v_0)^2 - \frac{k}{2}(x^{\prime})^2\\&= \frac{m}{2}(\dot{x^{\prime}})^2 + m\dot{x^{\prime}}v_0 + \frac{m}{2}v_0^2 - \frac{k}{2}(x^{\prime})^2\end{align*}$

其中 $\mathscr{L}_2 = \frac{m}{2}(\dot{x^{\prime}})^2$ 是拉式函数对速度的二阶项； $\mathscr{L}_1 = m\dot{x^{\prime}}v_0$ 是速度的一阶项； $\mathscr{L}_0 = \frac{m}{2}v_0^2 - \frac{k}{2}(x^{\prime})^2$ 包括了速度的零阶项以及常数项。

由于具备了充足条件，可将拉式函数用矩阵形式表示：

$\mathscr{L}(x^{\prime},\dot{x^{\prime}},t) = \mathbf{\dot{q}}^{\rm{t}}\mathbf{a} + \frac{1}{2}\mathbf{\dot{q}}^{\rm{t}}\mathbf{T}\mathbf{\dot{q}} + \mathscr{L}_0(x,t)$

其中 $\mathbf{\dot{q}} = \begin{pmatrix}\dot{x^{\prime}}\\0\\0\end{pmatrix}$ ， $\mathbf{a} = \begin{pmatrix}mv_0\\0\\0\end{pmatrix}$ ， $\mathbf{T} = \begin{bmatrix}m & 0 &0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}$ 。

$\bullet$ 于是可以直接使用下面表达式，得到哈密顿函数：

$\begin{align*}\mathscr{H}(x^{\prime},p^{\prime},t) &= \frac{1}{2}(\mathbf{\dot{p}}^{\rm{t}} - \mathbf{\dot{a}}^{\rm{t}})\mathbf{T}^{-1}(\mathbf{\dot{p}} - \mathbf{\dot{a}}) - \mathscr{L}_0(x,t)\\&= \frac{1}{2m}(p^{\prime} - mv_0)^2 + \frac{k}{2}(x^{\prime})^2 - \frac{m}{2}v_0^2\end{align*}$

注意：最后一项既不含坐标也不含速度，所以即便被舍去也不会对最后的运动方程造成任何影响。

$\bullet$ 可见，该情况下的哈密顿函数并不代表总能量，但由于其不显含时间，所以是一个守恒量。

总结

上述的例子证明了哈密顿函数不同于拉格朗日函数的一点。面对同一个系统，通过使用不同的参考系，我们得到了两组完全不同的哈密顿函数，这两组函数在数值上，时间依赖以及函数变化上均不相同。即便哈密顿函数深受广义坐标选取的影响，最后得到的运动方程始终都会是同一个，所以作为使用者的我们，更关心的该是如何选择一组广义坐标能够使得计算量达到最小才对。

分析力学基本原理介绍7.4：循环坐标和守恒定理

总结

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