本系列只适用于，对0.1+0.2!=0.3这个问题“深恶痛绝”的人。
本章是关于 进制 的说明，如果你已经熟悉进制规则，请直接跳过本章，如果本章没有帮助到你理解进制，请搜索其他相关文章、资料。总之，关于进制的原理一定要熟悉，否则后续说明都没有意义。
数量，数值，数字
如果我指着这张图说“左边是5，右边也是5”，大多数人都领会我说的是5个苹果和5只兔子，但思维缜密的人会想，会不会是“5元一斤”？所以，为了清楚表达，还需要加上量词和名词，“5个苹果”和“5只兔子”。
“5个”和“5只”为数量，抽离出两者数量的内在本质—“量”为5，把量再进一步抽象，用数目表示出来多少，叫做这个量的数值，为5（数学课本理论部分中的数字为数值，注意，数值是没有计量单位的），为了便于传播，对数值进行书写，可以为 5 （阿拉伯数字，古印度人发明）、五或伍（中文数字）、five（英文数字）、V（罗马数字）等。
数字属于文字的一种，所以本质也是符号，是一种映射。
如果你还有印象,在小学第一次接触数字时,一定是比文字更难懂的,更难学习,因为数字也是文字符号的一种,文字就是一种抽象，这在《闲聊编码与加密》中已经说过，所以这具备了第一层抽象,但数字又包含了从“量”到“数值”的一层抽象，综合下来，数字就拥有2层抽象，当然要难以理解一些。
由于我们习惯使用10进制，通常会把看到的“数字”都等价于10进制的“数字”（比如数学课本描述的数字，在没有特殊说明下，都是10进制的），但“数字”是相对独立的，其本身只是把“数值”实例化到纸张或者其他载体的一种手段，和进制本没有关系，完全可以使“数字”代表多种进制，出现这种情况的原因是我们在学习、生活中，潜移默化的把10进制和“数字”绑定在了一起，这种思维需要破除，把10进制和“数字”解绑。
位值原则
数值113（阿拉伯数字）的多种符号表示方法：
中文数字：一百一十三（壹佰壹拾叁）
英文数字：one hundred and thirteen
罗马数字：CXIII
阿拉伯数字：113
位值原则：每一个数字出了表示自身的值之外，还有一个所在位置所赋予的值，即位值。
阿拉伯数字113 = 1 x 102 + 1 x 101 + 3 x 100,
每个数字都具备位值赋予的值。从右向左，第一个要乘以10的0次方，第二个要乘以10的1次方，第三个要乘以10的2次方，以此类推。可见书写方便，易于理解
中文数字、英文数字、罗马数字都不具备着这个特性，是阿拉伯数字首开先例。不要小看位值原则，以为它很平常。在历史上，位值原则是杰出而重要的思想，是人类文明重要的里程碑之一，也是数学史上无与伦比的一个光辉成就。马克思曾经高度地评价过位值原则的出现，称赞它是“最美妙的数学发明”。
并不是阿拉伯数字的推广，位值原则才显得重要，而是因为位值原则重要，阿拉伯数字才得以被推广，所以以下都已阿拉伯数字为主说明。
进制
由于我们从小接触10进制或者说一直使用10进制，自然会认为10进制是最好的进制。就如说“PHP是世界上最好的语言”的人一样，是否也只是使用PHP过多或者只会PHP这一门语言的人说所的呢？语言没有好坏之分，只有是否适用之别，进制也一样。
原始人在记录猎物数量时，会伸出10个手指头，每记录1个猎物，就掰弯一个手指，10个手指都掰弯了，就在地上放一个小石块（或者别的什么东西），10进制就是这么来的。
身边的进制
时间：
60进制： 60秒 = 1分钟， 60分钟 = 1小时 （古巴比伦留给我们的遗产）
24进制：24小时 = 1天
10进制：10天 = 1旬（旬代表年龄时，1旬为10年，“年过五旬”就是过了50岁）
7进制：7天 = 1周
3进制：3旬 = 1月，3月 = 1季
4进制：4季 = 1年
12进制： 12月 = 1年
其他：
16进制：秦统一度量衡时，李斯主张制定16两 = 1斤，沿用至解放前。成语“半斤八两”出处就在这，意思是两人实力差不多。
在欧洲,1磅 = 16盎司，1俄尺 = 16俄寸。
2进制： 《易经》中的说：无极生太极，太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦，就是2进制，莱布尼茨的2进制与此没有直接关系，但有间接影响。
为什么出现这么多的进制，都是根据具体需求来的，具体是什么需求就要你自己查阅总结了。
一个进制计数方法如果想记录，几进制就要有几个不同的符号对值进行表示：
2进制：0，1
10进制：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9
16进制：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，a（代表10），b（代表11），c（代表12），d（代表13），e（代表14），f（代表15）
至于为什么16进制使用英文字母代表10以上的数字，可能是因为英文字母的普及率比较高和书写方便。
2进制就是逢2进1，10进制值就是逢10进1，16进制逢16进1。
之所以逢几进1，就是因为2进制没有代表2的符号,10进制没有代表10的符号，以此类推，如果要用2进制计数，就得这样数数了：
2进制计数：1，10，11，100，101，110，111，1000 ....
【为了区分，通常会在数值后面加一个小括号，里面的值就是进制数】虽然 5(10) 和 101(2) 在书写上不同，但是他们代表的 “量” 是相同的，如果把它们 “量” 化，就是都代表这么多个苹果。
一堆苹果
既然他们都代表相同的 “量” ，就说明它们之间可以通过某种方法进行转化。
一、10进制 转 2进制方法
1.等式方法
2.竖式方法
注意：书写数字时时从左往右写，但是，位数是从右往左数的，右数第一个数字时第一位，右数第二个数字时第二位....以此类推，所以最右面的是最低位，最左边的是最高位。一个16位的2进制，如：
11111111 00000001 中，11111111就是所谓的高八位，00000001就是低八位。
这两种方法都是 “二除取余法”，你喜欢哪一种就用哪一种就好，效果都是一样的，需要注意的是，两种都是商为0时停止，结果是顺着箭头方向书写。
再转化一个，把 10进制的6 转化成2进制。
所以6转化成10进制为：110
以上工具可在github下载：https://github.com/fengjinlovewei/ieee754.git
举个栗子说明：
假设我玩一款带有装备合成系统的游戏，
合成规则是：同类型的武器，2把一星可以合成1把二星，2把二星可以合成1把三星，2把三星可以合成1把四星....以此类推。
现在我已经收集了11把一星的武器，如下：
11把一星的武器
那么我最高能合成一把几星的武器呢？
这个得一步一步来，我首先要知道我能合成几把二星武器?
11 ÷ 2 = 5 ········ 1，那么现在我手里有了5把二星，并且剩下1把一星了，这个一星就暂且不管它了，因为已经无法合成了。
合成二星
然后我需要合成三星，
5 ÷ 2 = 2 ········ 1，现在我有2把三星，并且剩下一把二星，这个2星我也不管它了。
合成三星
现在合成四星，
2 ÷ 2 = 1 ········ 0，现在我有1把四星了，没有剩下多余的三星。
合成四星
合成五星，
1÷ 2 = 0 ········ 1，很遗憾，合成不了五星了，因为不够了。
现在我的游戏包裹里很清爽了，如下：
包裹里现有的装备
这个是不是和2进制有那么点联系呢？是不是和刚才计算过程一致？
那就再直白一点吧，星级数就代表位数，这个位数是从右往左数的，一星占位······右1，二星占位······右2，四星占位······右4，右3空置，就补0
星值对应着位数，没有位的补0
通过着这个例子，应该可以知道为什么10进制转化2进制要用 “二除取余法”了吧。
如果现在游戏规则改了，要3把同类型武器合成更高星武器，实际上就是使用了3进制原理：
合成二星：
11 ÷ 3 = 3 ········ 2，合成3把二星，剩下2把一星
合成三星：
3 ÷ 3 = 1 ········ 0，合成1把三星，没有剩下二星
合成四星：
1 ÷ 3 = 0 ········ 1，合成不了四星，因为不够。
这个就是 3进制 啦。10进制的数值11 = 三进制的数值 102
二、2进制 转 10进制方法
如果把2进制的数值 1011 转化成10进制的数值，方法是：
= 1 x 23 + 0 x 22 + 1 x 21 + 1 x 20
= 8 + 0 + 2 + 1
= 11
如果是3进制的 1011 转化成10进制呢？
= 1 x 33 + 0 x 32 + 1 x 31 + 1 x 30
= 27 + 0 + 3 + 1
= 31
如果 1011 是10进制，是不是可以做如下分解：
= 1 x 103 + 0 x 102 + 1 x 101 + 1 x 100
= 1000 + 0 + 100 + 1
= 1011
同样都是 “数字” 1011 ，因为进制不同，所以代表的 “数值”（也可以叫做 “量”）也就不同，因为每个数字因为位置的不同，所具备的隐藏属性不同，这就是 “位值原则” 在发挥作用。
如果游戏规则为：两把同星级武器可以合成一把高一级武器，我要合成1把七星的武器，至少需要多少把一星武器呢？
这个问题等价于 1000000 这个二进制数的量为多少。我们习惯于10进制，那么就转化成10进制吧。
= 1 x 27 + 0 x 26 + 0 x 25 + 0 x 24 + 0 x 23 + 0 x 22 + 0 x 21 + 0 x 20
= 128
细心同学应该发现，上面例子中都是10进制转其他进制，那么如果 3进制 转 4进制，或者 7进制 转 5进制怎么转呢？
最简单的方法就是把3进制和7进制转化成10进制，再转转化成 4进制 和 5进制，但是如果你的脑子中对于 “量” 的把控已经炉火纯青了，也可以直接转化。不过我还没到达这个境界，还是按简单的方法来吧
Ⅰ、3进制 2021 转化成 4进制：
2021(3) 先转 10进制
= 2 x 33 + 0 x 32 + 2 x 31 + 1 x 30
= 54 + 0 + 6 + 1
= 61
61(10) 再转 4进制
61 ÷ 4 = 15 ········ 1
15 ÷ 4 = 3 ········ 3
3 ÷ 4 = 0 ········ 3 （商为0，停止）
最终，3进制 2021 转化成 4进制为：331
Ⅱ、7进制 164 转化成 5进制：
164(7) 先转 10进制
= 1 x 72 + 6 x 71 + 4 x 70
= 49 + 42 + 4
= 95
95(10) 再转 5进制
95 ÷ 5 = 19 ········ 0
19 ÷ 5 = 3 ········ 4
3 ÷ 5 = 0 ········ 3 （商为0，停止）
最终，7进制 164 转化成 5进制为：340
问题1：2进制的数值1 和 10进制的数值1，哪个“量”更大？
问题2：8进制的数值7 和 10进制的数值7， 哪个“量”更大？
当然是一样大。
三、其他：
汉字的数字
内外骚动，怠于道路，不得操事者，七十万家。——《孙子兵法》用间篇
《孙子兵法》于春秋时著（即自公元前770年至公元前476年这段历史时期，阿拉伯数字0，1，2，3，4，5，6，7，8，9起源于公元500年前后，相差近1000年）。可见在春秋时，我国就已经使用一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、万的数字，从十以后，如：一十三，二十七。数字符号出现重复性，可见古人很早就使用了10进制计数法
比如记录117：一百一十七。
这与位值原则已经很接近了，试着去掉单位：一一七，这是不是就能使用位值原则了呢，感觉从 一百一十七 进化成 一一七 应该是一件顺理成章的事情，可为什么没有这样发展呢？
举个例子说明为什么没有，现记录700：七百，如果要使用位值原则，就必须要写成这样 七OO ，问题就出在这，我们的古人计数没有 O 的概念（注意这个O，它是一个汉字！阿拉伯数字在元代传入我国之后，人们参照其中的0，创造了汉字“O”，例如“二〇〇九年”。从书写来说，写“〇”比写“零”要方便得多。因此，大家俗称它为“小写的零”。），但没有O，就没有占位符，没有占位符，像七百这样的数字就无法体现位值原则，可以说我们的古汉字数字与位值原则失之交臂，就是因为没有 O，
不过这都是我自己猜的。。
再来看看英文的数字
1 one 2 two 3 three 4 four 5 five 6 six 7 seven 8 eight 9 nine 10 ten 11 eleven 12 twelve
13 thirteen 14 fourteen 15 fifteen 16 sixteen 17 seventeen 18 eighteen 19 nineteen
20 twenty 21 twenty-one 22 twenty- two 23 twenty- three 24 twenty- four 25 twenty- five 26 twenty- six 27 twenty- seven 28 twenty- eight 29 twenty- nine
30 thirty 31 thirty- one 32 thirty- two 33 thirty- three 34 thirty- four 35 thirty- five 36 thirty- six 37 thirty- seven 38 thirty- eight 39 thirty- nine
40 forty ....
不知道你的英语老师有没有给你解释过“为什么英语的数字重复词根出现13，而在20以后又强行改成了10个数字为重复词根”呢，这其实就是欧洲最早是使用12进制计数的缩影，在美国，至今仍有一个“美国十二进制协会”，公开申明致力于十二进制的推广普及工作，理由是12比10拥有更多的因数，一会12进制，一会又10进制，英文数字如此任性，更不可能进化出位值原则。
如果我国数字与位值原则失之交臂，那欧洲数字与位值原则就是南辕北辙。
四、纯小数的进制转换
整数部分是零的小数叫做纯小数（pure decimal），如0.3，0.48，0.999等。
以下提到的小数都代指纯小数。
首先得明确一点，无论是几进制的小数，他都是一个大于0，小于1的数，或者直接说是纯分数（小于1的分数），他们的值都是基于量“1”的。
假设一块披萨的量为 “1”， 那么我吃了一半，还剩多少？
半块披萨
使用10进制小数来表示，那就是0.5了，这个都知道，因为 可以看成把披萨平均分成10分，取其中的5份，0.5 x 2 = 1。
二进制相当于把披萨平均分成2份，取其中的一份，概念容易懂，但是这个一份具体用数值怎么表示？
即便是小数，也要遵循进位的原则，比如 10进制的 0.5 x 2 = 1，就是因为5 x 2 = 10,要进位，所以变成了1.0 ，也就是1。
那么同样，2进制也要逢2进一，且两个加数要相等，结果只能是 0.1(2) + 0.1(2) = 1
所以， 10进制的 0.5 = 2进制的 0.1，因为他们都代表同一个“量”（半块披萨）
如果我又吃掉了半块披萨的一半, 那么此时剩余的披萨用十进制小数表示就是 0.5的 一半, 0.25。
用2进制表示就是 0.1的一半，那就是 0.01，因为 0.01 + 0.01= 0.1
所以， 10进制的 0.25 = 2进制的 0.01，因为他们都代表同一个“量”（半块披萨的一半,也就是四分之一披萨）
综上所述，可推出如下10进制和2进制小数对照表
1 = 1(2) = 1披萨(量)
0.5 = 0.1(2) = 1/2披萨(量)
0.25 = 0.01(2) = 1/4披萨(量)
0.125 = 0.001(2) = 1/8披萨(量)
......
那么，2进制小数转10进制小数方法如下：
例: 0.1011(2)
= 1 x 2-1 + 0 x 2-2 + 1 x 2-3 + 1 x 2-4
= 0.5 + 0 + 0.125 + 0.0625
= 0.6875
注意其中的数值含义，比如1 x 2-1，1是它所在的2进制位置上的值，代表半块披萨的量，2-1代表10进制的0.5，也代表半块披萨的量，要转化成10进制，就需要用10进制的值去替换，总结一句话：在这个位置上，有1个10进制2-1的量。
把各个位置上的量相加，就是用10进制值，代表的2进制的值，的量。
10进制小数转化2进制小数又该怎么转呢?
先用10进制的例子做一些铺垫：
10进制
0.071 x 10 = 0.71
0.71 x 102 = 71.0
71.0 ÷ 10 = 7.1
从中可以发现规律，
10进制的数：
乘10，以小数点为基准，整体左移一位，
乘102，以小数点为基准，整体左移两位。
乘10-1，以小数点为基准，整体右移一位。
.....
那么2进制的呢？
2进制
0.01 x 2 =0.1，因为0.01 + 0.01 = 0.1，上面已经说过了。
再举几个栗子：
0.1101 x 2 =1.101
1.101 x 24 =11010.0
11010.0 x 2-6 = 0.01101
可以发现，2进制的数
乘2，以小数点为基准，整体左移一位，
乘24，以小数点为基准，整体左移四位，不够位补零。
乘 2-6，以小数点为基准，整体右移六位，不够位补零。
n进制的数，乘以n的 ±m 次方时，
m为正数时，以小数点为基准，向左移动m位，不够位补零。
m为负数时，以小数点为基准，向右移动m位，不够位补零。
js中的移位运算（>>,<< 二元操作符）也是这个原理：
比如运算 5 << 2
1、把 5转化成2进制,101(2)
2.、101(2) 左移 2位 得 10100, 相当于把 5 乘了2次的2,得20.不过要注意的是：
js的在进行>>,<<操作时,要先把左操作数转化成32位整型,所以左操作数就包含了两条隐藏属性:
1、左操作数不能大于 232 - 1 这个数,如果超出,该数值的二进制高位部分超过32位的会直接舍弃掉。
例如：2 ** 32 + 4 >> 0 = 4
2、左操作数如果是带小数的，小数部分也会直接舍弃，无论大小
例如：5.9 >> 0 = 5
现在要把0.84375转化成10进制,可以写成如下等式:
a x 2-1 + b x 2-2 + c x 2-3 + d x 2-4 + ..... = 0.84375
左边是一个2进制转10进制的算式，右边就是这个算式的结果。
其中，a、b、c、d、e、f、g.....等未知数的取值范围为0或者1。
现在等式两边同时 乘 2，等式两边依旧相等：
(a x 2-1 + b x 2-2 + c x 2-3 + d x 2-4 + ..... ) x 2 = 0.84375 x 2
a.0 + (b x 2-1 + c x 2-2 + d x 2-3 + ..... ) = 1.6875
注意，此时a已经移动到了小数点的左边。
继续两边乘以2，
ab.0 + (c x 2-1 + d x 2-2 + e x 2-3 + ..... )= 3.375
继续乘以2,
abc.0 + (d x 2-1 + e x 2-2 + f x 2-3 + ..... )= 6.75
继续乘以2,
abcd.0 + (e x 2-1 + f x 2-2 + g x 2-3 + ..... )= 13.5
继续乘以2,
abcde.0 + (f x 2-1 + g x 2-2 + h x 2-3 + ..... )= 27.0
此时停止,因为10进制已经没有小数了，所以2进制也就没有了，这点希望你能想的通，转换完成。
abcde(2) = 27
10进制的27转化成2进制我们是会的，11011(2)， 所以的等式右边的值为11011(2)。
还没完，因为虽然等式两边同时乘除一个数，等式不变，但右边相对于原来的值是扩大了 25 倍，需要把这个倍数去掉，还记得移位这个东西吗？
11011(2) x 2-5 = 0.11011(2)，右移5位。
所以结果为 0.11011
但是这和网上流传（或者老师上课教）的方法不太一样，他们的方法是这样的：
你能查到的10进制小数转2进制小数的方法
这个转换方法非常干练，是提炼出的精华。
拿第一次乘2的等式举例说明：
(a x 2-1 + b x 2-2 + c x 2-3 + d x 2-4 + ..... ) x 2 = 0.84375 x 2
a.0 + (b x 2-1 + c x 2-2 + d x 2-3 + ..... ) = 1.6875
a.0 + (b x 2-1 + c x 2-2 + d x 2-3 + ..... ) = 1.0 + 0.6875
此时，a = 1已经求出，左右两边同时减1，再乘以2
b.0 + (c x 2-1 + d x 2-2 + e x 2-3 + ..... ) = 1.0 +0.375
此时，b = 1已经求出，左右两边同时减1，再乘以2
c.0 + (d x 2-1 + e x 2-2 + f x 2-3 + ..... ) = 0 + 0.75
此时，c = 0已经求出，再乘以2
d.0 + (e x 2-1 + f x 2-2 + g x 2-3 + ..... ) = 1.0 + 0.5
此时，d = 1已经求出，左右两边同时减1，再乘以2
e.0 + (f x 2-1 + g x 2-2 + h x 2-3 + ..... )= 1.0
此时，e = 1已经求出，右边已经没有小数部分了，所以 (f x 2-1 + g x 2-2 + h x 2-3 + ..... )这一部分是不存在的。
这个转化就是精简方法基本一致了。
第一个方法求的是最终的结果。
第二个方法是直接求出未知数。
说这么多，就是想说明，流传的简单方法到底是怎么来的。
那么现在试着来求一下10进制的 0.1，和 0.2 转化成 2进制是什么样的吧，你会发现右边的小数部分永远也不能为1.0,也就是不能完全转化。
10进制0.1转化成2进制
10进制0.2转化成2进制
以上工具可在github下载：https://github.com/fengjinlovewei/ieee754.git
你可能已经发现了 0.1+0.2!=0.3 的部分“秘密”，不过这只是冰山一角，后续会继续深入说明。
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