数学的结构

现今的数学，它的基本结构是——公理体系。

任何一门学科，它要解决的问题大体都是以下几个：

是什么？

有什么性质？联系？操作？规律？

为什么？

想达到特定的人为目标，该怎么做？

前面提到，数学是研究抽象的数量、形状、操作、结构、关系等的学科，它的基本工具是直觉思维和逻辑思维，数学提出数学规律，它的规律验证手段是逻辑思维而不是现实试验。对应上面四个问题，在数学中对应的分别是：

定义。

公理，以及定理、推论。

逻辑推理过程（主要是演绎推理）。

数学方法。主要是针对特定人为目标的从无到有的方法探索。这种探索需要直觉与逻辑并用。

一一对应是个好东西！集合论是个好东西！

代数系统（一直到实数） 和 欧式平面几何系统 目前为止看来非常非常有可能是相容的。

实数和直线建立一一对应，实数对和平面建立一一对应。当然都有相应的对应法则。实数遵循代数规则，平面遵循欧式几何规则。一个系统里面的公理、定理可能会互换位置的，互换之后所定义对象的性质（就是所有公理和定理所描述的事情）很可能是不变的，因为逻辑往往不是单行线。在建立了上述的一一对应之后，代数系统和欧式平面几何系统就做了尝试性的合并，合并后的系统我们称之为平面解析几何系统。考察合并系统的性质，人们慢慢发现，在遵循各自规则的前提下，欧式平面中的图形可以与代数系统中的方程等等建立一一对应，这样就可以在对应法则的前提下，用代数来处理图形，也可以用图形来处理代数。并且随着研究深入人们发现，这两个系统合并之后，似乎不会得出与之前单个系统中的命题相矛盾的命题，也即这两个系统貌似是相容的。如果是相容的当然是最好了。所以人们暂时带着这样的信念继续走了下去。