今天在数学课上复习大课程时，我们回顾了有关于线的平行与相交。我们现在已经六年级并且很快就要初一了，所以现在除了做题，我们还有一些其他的更值得研究与深思的东西。就是该怎么证明我们所得到的一些公式或者定理。所以在我们说到现在同一平面内的平行与相交时，引出了一个更加好玩的东西，就是有关于公理与定理的问题。
平时我们经常在数学类的书中会看到欧几里得的公式或是他所列举的公理与定理等等。当时我们并不是很了解公理与定理到底有什么一样之处和不一样之处，只认为是一个固定的计算方法。但是这一次我们却知道了公理与定理到底有什么不一样的地方以及它们到底是什么。
老师先是在上课的时候问了一个问题，如下图。
三线八角
这一张图里面所表示出来的东西，就是我们平常经常说的三线八角。那么这个三线八角是什么呢？顾名思义，就是三条直线和八个角。而此时他们在途中形成出来的状态是，直线a∥直线b，被另一条直线所截，并由此产生了八个角。而这八个角我们就要分别为它们命名来方便我们到时候来验证猜想或是得到结果。
首先的条件就是在a∥b（a平行于b）且直线a与直线b在同一平面内的情况下，让你想出方法来证明∠1与∠2是否相等。我们一开始都很想当然的认为这其实很简单。我当时想出了一个方法：既然a∥b，那么a和b就可以假想成为一条线。然后在想象中将两条线沿着那一条将直线a和直线b所截的直线的角度平移，最后就发现，∠1与∠2大小其实是完全一样的。但是后来我又意识到了我这种想法其实有点不切实际，数学是严谨的推理与思维模式，而我这样不仅没有依据而且也无法证明。
后来我们又分别想了好多种方法，但是却都无法真正的证明∠1一定等于∠2。而这就是公理。而现在的公理中我们把这种角称为同位角，并且同位角的角度一定是相等的。公理就是你明明知道应该就是这样的，但是却无法找出证据或者是方法来证明你的猜想是对的。不过因为数学还是追求严谨的证明，所以公理自然是越少越好。除非到了万不得已你想不出来任何方法的时候，才会再次任命一个公理。
那么既然我们已经得出了第一个公理，如果在同一平面内如果直线a∥直线b，同位角相等。这时我们就可以开始我们的第2个猜测。那么在这张图中，∠7与∠2是否相等呢？接下来我们要得出的就是定理。定理跟公理并不一样，公理是无法证明所以才形成的。但是定理需要通过公理再加上严谨的数学证明才能得到。所以接下来我们就要按照数学的一步步推测来得到。
从图中我们可以根据上面已经得到的第1个公理所推测出：
∵a∥b（在同一平面内直线a与直线b平行则同位角度数相等）
∴∠1＝∠2，∠7+∠3＝180°，∠3+∠1＝180°
像这样的角，我们则把它们称为内错角。从中我们就得出了一个定理，当直线a与直线b在同一平面内平行时内错角相等。那么根据这个定理，我们同样也可以得出∠5＝∠4，∠6＝∠3等等。
那么，除了同位角和内错角，从这张图上我们还可以看出有什么不太相同的角呢？对了，∠7与∠4好像也有关系。开始看到这两个角的时候，我就猜想∠7与∠4的和有可能是180°。与上面相同，接下来就是再次验证。
∵a∥b（同一平面内直线a平行于直线b内错角相等）
∴∠4＝∠5，∠5+∠7＝180°，∠7＝∠4
那么我们又可以再次得到一个定理了。而这就是“在同一平面内直线a平行于直线b那么同旁内角互补（180°）”
我们可以看到，同旁内角相加等于180°这个定理是由内错角相等得出来的。而内错角相等又是通过公理得出来的。所以公理和定理就是一个不断的增加。那么这样说来，我们现在得出的定理只不过是万分之一而已，还有很多很多的的神奇的东西等待我们探索呢！
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