我今天在这里想讲两个概念，至少是基于我在可汗学院的观察，非常核心的概念，或者说是掌握概念和心智模式的概念，我是从教我表亲过程中学到的。他们好多人一开始数学都不好，因为这些数学不懂的差距是慢慢累积的。正因为如此，当他们开始上代数课的时候，他们会对代数的前期课程感到力不从心。于是，他们会认为自己不是学数学的料，或者当他们去上微积分的时候，代数依然困扰着他们。我了解到这情况是我在油管上上传了一些视频的时候，很多不是我的表亲们都在看我的视频。一开始那些评论都只是些简单的“谢谢”，我那时觉得很不错！我不知道你们花多少时间再油管上，但很多评论不只是“谢谢”。他们有些不安，慢慢地这些评论变得不太愉快，一个又一个学生都说他们不喜欢数学。当他们开始学习更高级的数学知识时，数学变得越来越难。当他们开始接触代数时，他们有太多没掌握的知识点。他们觉得自己根本是个数学笨蛋。当他们大一点的时候，他们去补课，并决定好好努力。他们发现了想可汗学院这样的资源，而且能够填补以前的知识差距并掌握他们。这会强化他们并未固化的心智模式，然后他们发现自己是可以学好数学的。当然生活中有很多方式，这只是展示了如何掌握很多事情的一例。这是你学习武术的方式。在武术中，你会尽可能地练习白带的技巧，当你掌握了，你就晋升到黄带，这也是你学习乐器的方式：你一遍又一遍地练习基本功。只有当你掌握了，你才能开始学习更高级的技巧。但我们要指出的是，这不是传统学校的教学方式，但我们绝大部分都在那种学校学习。
在传统的教学模式中，我们通常将学生按年龄分组。到了中学，按照年龄和学习成绩，我们又将他们分组。通常会这样，假设我们在一所中学的代数学前班里，目前要学习的内容是指数，那么老师就会给学生讲指数的课，然后我们回家做作业。第二，我们温习作业，然后下一堂课，然后作业，上课，作业，这会持续两到三周，然后我们会有一个小测试。那个测试我可能得了75分，你可能得了90分或者95分。虽然考试检验出我们的知识有差距，可我有25%的知识没掌握啊。即使是大牛，他们也有5%不懂的知识啊。即便我们知晓了差距，但整个班依然会进入下一个主题，更高一级的知识会继续累积我们的知识差距。这可能是对数或者负指数。这个进程会继续，然后你马上会意识到这是多么的奇怪。我有25%的基础知识不懂，现在又要学习更难的知识。这会持续几个月，几年，一直到未来某一时刻，我上代数课或者三角学，然后我就懂了。这不是因为代数本来就很难或者学生不聪明，而是因为我在解答一个关于指数的等式，但有30%我不懂的东西出现了。然后我就不想做了。为了更好的理解这有多荒谬，我们来想象一下我们用那种方式来处理日常事情。
比如，造房子。我们对承包商说，我们现在只有两个星期来见地基了，你们自己看着办。然后他们自己就去搞了，可能会下雨，可能供货商不见人了。两个星期过去了，监工来视察，看了看，说，“好吧，那边的钢筋水泥还是湿的，还不能完工。。。我给80分吧。”你说：“太棒了！及格了！我们开始见第一层吧！”一样的，我们只有两周，尽你所能，接着监工出现，75分。太好了，这是D等级。第二层，第三层，突然，正当你在建第三层的时候，楼塌了。如果你的反应如在学习上碰到的那样，或者很多人都会这样，你可能会说，可能我们有个不合格的包工头，可能我们需要更细致的检查或者更频繁的检查。但其实是过程出了问题。我们人为地限制了做某件事情的时间，保证了一个变动的结果。然后我们不厌其烦地一遍又一遍地检查和确认差距，但我们依然在它上面继续建房子。所以掌握学习的精髓在于做相反的事情。与其自我限制：规定什么时候多长时间完成一件事，却确保一个变动的结果：A，B，C，D，E，F，不如另行其道，变动的是一个学生什么时候用多长时间学习一个概念，固定的是他们实实在在地掌握了那些知识。重要的是不仅这些学生会学得更好，而且还会强化他们正确的心智模式。也就是说如果你做题做错了20%，这不代表你的DNA就是个渣渣。这表示你要努力学习，你要有勇气，要坚持，你要请个家教啥的。可能会有很多批评家都会说：哇，这真不错，理想真丰满，以掌握为导向的学习及其于心智模式的关联，学生上上辅导班之类，这都很有道理，但现实是骨感的。要真正做到，那要每个学生都有自己的学习路径。也就是要定制，你要有充足的私教并为每个学生安排课程。这些都不是新东西。早在100年前，在伊利诺斯州的winnetka做了好多实验以掌握为导向的教学并观察其结果，学生成绩并没有显著提升，因为太耗费人力物力了。老师得为每个学生安排不同的教学课程，根据需求来做测评。
但现在，现实也可以很丰满，我们有工具可以实现。学生想要按照自己的节奏来看答疑？我们有相关的视频。他们想要练习？想要反馈？我们有充足的适应性练习。当那些都成真了，有意思的事情就会发生。一，学生真正掌握了概念，但他们仍然在建构自己的成长心智，他们在学习挑战，在坚持。他们会参加辅导班。这些美妙的事情会发生在课堂里。与其专心听课，学生更愿意与他人互动。通过互动，他们更好地掌握了知识，他们还可以模拟苏格拉底对话。为了更好地理解我们刚才讨论的内容可能出现的谬误，我们来做一个头脑风暴。
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