高等代数理论基础9：复系数与实系数多项式

高等代数理论基础9：复系数与实系数多项式

作者: 溺于恐 | 来源:发表于2018-12-21 06:43 被阅读41次

复系数与实系数多项式

代数基本定理

定理：每个次数 $\ge 1$ 的复系数多项式在复数域中有一根

等价叙述：每个次数 $\ge 1$ 的复系数多项式,在复数域上一定有一个一次因式

注：由定理可知复数域上所有次数大于1的多项式全是可约的,即不可约多项式只有一次多项式

复系数多项式因式分解定理

定理：每个次数 $\ge 1$ 的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积

复系数多项式具有标准分解式

$f(x)=a_n(x-\alpha_1)^{l_1}(x-\alpha_2)^{l_2}\cdots(x-\alpha_s)^{l_s}$

其中 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$ 是不同的复数, $l_1,l_2,\cdots,l_s\in Z_+$

标准分解式说明每个n次复系数多项式恰有n个复根(重根按重数计算)

实系数多项式因式分解定理

引理：若 $\alpha$ 是实系数多项式f(x)的复根,则 $\alpha$ 的共轭数 $\bar{\alpha}$ 也是f(x)的根

证明：

$设f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0$

$其中a_0,a_1,\cdots,a_n\in R$

$由假设可知$

$f(\alpha)=a_n\alpha^n+a_{n-1}\alpha^{n-1}+\cdots+a_0=0$

$两边取共轭数可得$

$0=\overline{f(\alpha)}=a_n\overline{\alpha}^n+a_{n-1}\overline{\alpha}^{n-1}+\cdots+a_0=f(\overline{\alpha})$

$即f(\overline{\alpha})=0$

$\therefore \overline{\alpha}也是f(x)的根\qquad \mathcal{Q.E.D}$

定理：每个次数 $\ge 1$ 的实系数多项式在实数域上都可以唯一地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积

证明：

$定理对一次多项式显然成立$

$假设定理对次数\lt n的多项式成立$

$设f(x)是n次实系数多项式$

$由代数基本定理可知$

$f(x)又一复根\alpha$

$若\alpha\in R,则$

$f(x)=(x-\alpha)f_1(x)$

$其中f_1(x)是n-1次实系数多项式$

$若\alpha\notin R,则\overline{\alpha}也是f(x)的根$

$且\overline{\alpha}\neq\alpha$

$\therefore f(x)=(x-\alpha)(x-\overline{\alpha})f_2(x)$

$(x-\alpha)(x-\overline{\alpha})=x^2-(\alpha+\overline{\alpha})x+\alpha\overline{\alpha}为实系数二次不可约多项式$

$\therefore f_2(x)是n-2次实系数多项式$

$由归纳假设$

$f_1(x)或f_2(x)可分解成一次与二次不可约多项式的乘积$

$\therefore f(x)也可以分解成一次因式与二次不可约因式的乘积\qquad \mathcal{Q.E.D}$

实系数多项式有标准分解式

$f(x)=a_n(x-c_1)^{l_1}\cdots(x-c_s)^{l_s}\cdot(x^2+p_1x+q_1)^{k_1}\cdots(x^2+p_rx+q_r)^{k_r}$

其中 $c_1,\cdots,c_s,p_1,\cdots,p_r,q_1\cdots,q_r\in R$ , $l_1,\cdots,l_s,k_1,\cdots,k_r\in Z_+$ ,且 $x^2+p_ix+q_i(i=1,2,\cdots,r)$ 不可约

即 $p_i^2-4q_i\lt 0,i=1,2,\cdots,r$

相关文章

网友评论

高等代数

本文标题：高等代数理论基础9：复系数与实系数多项式

本文链接：https://www.haomeiwen.com/subject/qppxkqtx.html

延伸阅读

深度阅读

您也可以注册成为美文阅读网的作者，发表您的原创作品、分享您的心情！

栏目导航

热点阅读

高等代数

关于我们|服务条款|联系我们|高等代数理论基础9：复系数与实系数多项式|投稿指南|网站地图|RSS订阅|排版工具|手机版

提供经典美文摘抄,优美散文欣赏,现代诗歌精选,短篇小说,心情随笔,表白情书范文,故事会在线阅读欣赏

Copyright © 2014-2023 Haomeiwen.com All Rights Reserved. 好美文阅读网版权所有

备案信息：桂公网安备 45052102000051号 · 桂ICP备13007215号-3

本站所收录作品、热点评论等信息部分来源互联网，目的只是为了系统归纳学习和传递资讯

所有作品版权归原创作者所有，与本站立场无关，如不慎侵犯了你的权益，请联系我们告知，我们将做删除处理！