高等代数理论基础5：最大公因式

作者: 溺于恐 | 来源:发表于2018-12-16 07:36 被阅读52次

最大公因式

公因式

定义：若多项式 $\varphi(x)$ 既是 $f(x)$ 的因式,又是 $g(x)$ 的因式,则称 $\varphi(x)$ 为 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的一个公因式

最大公因式

定义：设多项式 $f(x),g(x)\in P[x]$ , $d(x)\in P[x]$ 是 $f(x),g(x)$ 的一个最大公因式满足：

(1) $d(x)$ 是 $f(x),g(x)$ 的公因式

(2) $f(x),g(x)$ 的公因式全是 $d(x)$ 的因式

注： $\forall f(x)\in P[x]$ ,f(x)是f(x)与0的一个最大公因式

两个零多项式的最大公因是0

引理： $f(x)=q(x)g(x)+r(x)\Rightarrow f(x),g(x)和g(x),r(x)有相同公因式$

证明：

$若\varphi(x)|g(x),\varphi(x)|r(x),则\varphi(x)|f(x)$

$即g(x),r(x)的公因式全是f(x),g(x)的公因式$

$若\varphi(x)|f(x),\varphi(x)|g(x),$

$则由r(x)=f(x)-q(x)g(x)知\varphi(x)|r(x)$

$即f(x),g(x)的公因式全是g(x),r(x)的公因式$

$若g(x),r(x)有一个最大公因式d(x),$

$则d(x)也是f(x),g(x)的一个最大公因式\qquad \mathcal{Q.E.D}$

定理： $\forall f(x),g(x)\in P[x],\exists 一个最大公因式d(x)\in P[x],$

$可以表成f(x),g(x)的一个组合,$

$即d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x),其中u(x),v(x)\in P[x]$

证明：

$若f(x),g(x)有一个为零,$

$不妨设g(x)=0,则f(x)为一个最大公因式$

$且f(x)=1\cdot f(x)+1\cdot0$

$若g(x)\neq 0,则$

$f(x)=q_1(x)g(x)+r_1(x),\partial(g(x))\gt\partial(r_1(x))$

$若r_1(x)\neq 0,则$

$g(x)=q_2(x)r_1(x)+r_2(x),\partial(r_1(x))\gt\partial(r_2(x))$

$若r_1(x)\neq 0,则$

$r_1(x)=q_3(x)r_2(x)+r_3(x),\partial(r_2(x))\gt\partial(r_3(x)),$

$\cdots$

$r_{i-2}(x)=q_i(x)r_{i-1}(x)+r_i(x)$

$\cdots$

$r_{s-3}(x)=q_{s-1}(x)r_{s-2}(x)+r_{s-1}(x)$

$r_{s-2}(x)=q_s(x)r_{s-1}(x)+r_s(x)$

$r_{s-1}(x)=q_{s+1}(x)r_s(x)+0$

$(f(x),g(x))=(g(x),r_1(x))=\cdots=(r_{s-1}(x),r_s(x))=(r_s(x),0)=r_s(x)$

$又r_s(x)=r_{s-2}(x)-q_s(x)r_{s-1}(x)$

$r_{s-1}(x)=r_{s-3}(x)-q_{s-1}(x)r_{s-2}(x)$

$\therefore r_s(x)=r_{s-2}(x)-q_s(x)[r_{s-3}(x)-q_{s-1}(x)r_{s-2}(x)]$

$=[1+q_s(x)q_{s-1}(x)]r_{s-2}(x)-q_s(x)r_{s-3}(x)$

$同理逐个消去r_{s-2},\cdots,r_1(x)后并项得$

$r_s(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)\qquad \mathcal{Q.D.E}$

注：两个多项式的最大公因式在可以相差一个非零常数倍的意义下是唯一确定的

f(x),g(x)不全为零,(f(x),g(x))表示首项系数为1的最大公因式

辗转相除法求最大公因式

例：设 $f(x)=x^4+3x^3-x^2-4x-3$ , $g(x)=3x^3+10x^2+2x-3$ ,求 $(f(x),g(x))$ ,并求 $u(x)$ , $v(x)$ 使 $(f(x),g(x))=u(x)f(x)+v(x)g(x)$

解：

$\qquad\qquad\qquad\qquad f(x)\qquad\qquad\qquad\qquad g(x)\\ \begin{array}{c|l|l|c}q_1(x)={1\over 3}x-{1\over 9}&x^4+3x^3-x^2-4x-3&3x^3+10x^2+2x-3&q_2(x)=-{27\over 5}x+9\\ &x^4+{10\over3}x^3+{2\over 3}x^2-x&3x^3+15x^2+18x \\ \hline &-{1\over 3}x^3-{5\over 3}x^2-3x-3&-5x^2-16x-3\\ &-{1\over 3}x^3-{10\over 9}x^2-{2\over 9}x+{1\over 3}&-5x^2-25x-30& \\ \hline q_3(x)=-{5\over 81}x-{10\over 81}&r_1(x)=-{5\over 9}x^2-{25\over 9}-{10\over 3}&r_2(x)=9x+27\\ &-{5\over 9}x^2-{5\over 3}x\\ \hline &-{10\over 9}x-{10\over 3}\\ &-{10\over 9}x-{10\over 3}\\ \hline &0\end{array}$

$f(x)=q_1(x)g(x)+r_1(x)$

$g(x)=q_2(x)r_1(x)+r_2(x)$

$r_1(x)=q_3(x)r_2(x)$

$\therefore (f(x),g(x))={1\over 3}r_2(x)=x+3$

$而r_2(x)=g(x)-q_2(x)r_1(x)$

$=g(x)-q_2(x)[f(x)-q_1(x)g(x)]$

$=[1+q_1(x)q_2(x)]g(x)-q_2(x)f(x)$

$=({27\over 5}x-9)f(x)+[1-({27\over 5}x-9)({1\over 3}x-{1\over 9})]g(x)$

$=({27\over 5}x-9)f(x)+(-{9\over 5}x^2+{18\over 5}x)g(x)$

$\therefore 令u(x)={3\over 5}x-1,v(x)=-{1\over 5}x^2+{2\over 5}x$

$就有(f(x),g(x))=u(x)f(x)+v(x)g(x)$

互素

定义： $f(x),g(x)\in P[x]$ , $(f(x),g(x))=1$ ,则称f(x),g(x)互素(互质)

注：两个多项式互素,则它们除去零次多项式外没有其他公因式,反之亦然

定理： $f(x),g(x)\in P[x]互素\Leftrightarrow \exists u(x),v(x)\in P[x]使得$

$u(x)f(x)＋v(x)g(x)=1$

证明：

$必要性显然$

$充分性：$

$设\exists u(x),v(x)\in P[x]使得$

$u(x)f(x)+v(x)g(x)=1$

$\varphi(x)是f(x)与g(x)的一个最大公因式$

$\therefore \varphi(x)|f(x),\varphi(x)|g(x)$

$\therefore \varphi(x)|1$

$即f(x),g(x)互素\qquad \mathcal{Q.E.D}$

定理：若 $(f(x),g(x))=1$ ,且 $f(x)|g(x)h(x)$ ,则 $f(x)|h(x)$

证明：

$\because (f(x),g(x))=1$

$\therefore \exists u(x),v(x)使得$

$u(x)f(x)+v(x)g(x)=1$

$两边乘h(x)得u(x)f(x)h(x)+v(x)g(x)h(x)=h(x)$

$\because f(x)|g(x)h(x)$

$\therefore f(x)整除等式左端$

$\therefore f(x)|h(x)\qquad \mathcal{Q.E.D}$

推论：若 $f_1(x)|g(x),f_2(x)|g(x)$ ,且 $(f_1(x),f_2(x))=1$ ,则 $f_1(x)f_2(x)|g(x)$

证明：

$f_1(x)|g(x)\Rightarrow g(x)=f_1(x)h_1(x)$

$\because f_2(x)|g(x)$

$\therefore f_2(x)|f_1(x)h_1(x)$

$又(f_1(x),f_2(x))=1$

$\therefore f_2(x)|h_1(x)$

$\therefore h_1(x)=f_2(x)h_2(x)$

$\therefore g(x)=f_1(x)h_1(x)=f_1(x)f_2(x)h_2(x)$

$即f_1(x)f_2(x)|g(x)\qquad \mathcal{Q.E.D}$

最大公因式推广

定义：设多项式 $f_1(x),f_2(x),\cdots,f_s(x)(s\ge 2)\in P[x]$ , $d(x)\in P[x]$ 为 $f_1(x),f_2(x),\cdots,f_s(x)(s\ge 2)\in P[x]$ 的一个最大公因式满足：

(1) $d(x)|f_i(x),i=1,2,\cdots,s$

(2)若 $\varphi(x)|f_i(x),i=1,2,\cdots,s$ ,则 $\varphi(x)|d(x)$

注：

1.用符号 $(f_1(x),f_2(x),\cdots,f_s(x))$ 表示首项系数为1的最大公因式

2. $f_1(x),f_2(x),\cdots,f_s(x)$ 全不为零时, $(f_1(x),f_2(x),\cdots,f_s(x))=((f_1(x),f_2(x),\cdots,f_{s-1}(x)),f_s(x))$

3. $\exists u_i(x),i=1,2,\cdots,s$ ,使 $u_1(x)f_1(x)+u_2(x)f_2(x)+\cdots+u_s(x)f_s(x)=(f_1(x),f_2(x),\cdots,f_s(x))$

4.若 $(f_1(x),f_2(x),\cdots,f_s(x))=1$ 则称 $f_1(x),f_2(x),\cdots,f_s(x)$ 互素

高等代数理论基础5：最大公因式

最大公因式

公因式

最大公因式

辗转相除法求最大公因式

互素

最大公因式推广

相关文章

网友评论

延伸阅读

深度阅读

栏目导航

热点阅读

高等代数