在线性代数中，代数计算和几何意义都不能少。
在线代中最基本都计算就是：向量加法、向量数乘、矩阵向量乘法、矩阵乘法、行列式计算。
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其实向量都是方括号括起来的上下结构，由于这东西没法写出来，我都用小括号的左右结构，跟表示点一样，知道怎么回事就行了，再说点和向量数值一样，为了区分，书写方式规定的不一样。我也没办法。标准参考截图，文字只是我乱写的，图片才是精华。
一、向量加法
1、这个最简单。两个向量相加，v+w，对向量w平移，v的箭头终点作为w的起点，相加的结果就是原点和w箭头终点连成的向量。（在线代中，提到向量都是从原点出发，没有平移的情况，向量加法的讨论是个例外）
感觉意义就是走了两段路，跟走一段路效果一样。抄个近路。哈哈。
向量加法.png
2、可以看出，这两个向量相加，根据移动过程考虑，
第一步，可以看作先水平方向移动1，再竖直方向移动2，完成了第一个向量。
第二步，水平方向移动3，竖直方向移动-1，完成了第二个向量，最后停止。
重新编排顺序，根据方向考虑，
在水平方向总共1+3，竖直方向总共移动2+（-1），两个方向移动完，最后停止。
所以向量加法：v+w=（vx+wx, vy+wy）
加法计算.png
二、向量数乘
1、普通的乘法3x5，可以说是3个5相加，或者5个3相加，从右往左看的话，可以认为把5变为原来3倍。向量数乘3v同理，把向量v变成原来的3倍。
向量数乘.png
2、跟向量加法一样，需要探究这个过程是怎么实现的。
箭头长度变为了原来的a倍，生成了一个新的向量，但是方向没变，根据新旧向量组成的相似三件形可知，x轴方向变化了a倍，y轴方向变化了a倍，
所以av=（avx，avy）。
向量数乘过程.png
三、矩阵向量乘法
之前说过，矩阵就是一个线性变换或者说是一个函数：y= f(x)。
变换就是生成一个新的坐标系或者新的空间。变换是基于基向量的变化。向量的数值也是根据基向量表示。
前面提到向量的加法，两个向量相加等于一个向量。换句话说，一个向量可以用两个向量表示。根据移动过程考虑，现在x轴方向走一个向量，然后在y轴方向上走一个向量。
比如向量[2，5]，意义是在基向量i=（0，1）方向即x轴方向上先走2i向量，同理在y轴上走个5j向量。（2，5）=2i+5j。
矩阵向量乘法
比如平面，原来基向量是i（0，1）和j（1，0），变化后成了m（1，-2）和n（3，0）。由于矩阵保证了线性变换，原点不变，等距离平行伸缩变化，所以在新的坐标系中，向量的表示还是原来的数值。
比如一个向量（2，5），经过线性变化后，在新的空间中表示还是（2，5）
在旧坐标中表示：v=2i+5j
在新坐标中表示：v=2m+5n。
所以表示不变，在新坐标中数值还是原来的数值，在新坐标中讨论数值意义不大，所以一般都是变换后在就坐标中用一个新向量表示。看起来就是这个向量经过变换变成来新的向量。
既然要求向量变换后在旧坐标中的值，就需要用旧坐标的基向量表示。刚好新的基向量是用旧的基向量表示的。而且v=2m+5n，m和n用的基向量表示，直接带入m和n的值，就得到了结果。
过程如下：
计算过程.png
四、矩阵乘法
表示两个变换的相继作用。
首先知道，矩阵是变换，每一列的数值其实是变换后的基向量。求矩阵乘法的结果，无非就是求复合矩阵每一列基向量的值。可以通过追踪基向量的变换来解释。
追踪i帽.png
矩阵相乘M1M2，从右到左，是追踪基向量的变化过程。i先变成了M2的第一列i2，
然后经过下一个线性变换M1，结果就是M1和i的i2的矩阵向量乘法，结果就是i的变换结果，j同理。最后得到i和j最后的变换结果，组成了新的矩阵，每一列都是新的基向量。
所以矩阵乘法是2个变换的相继作用。可以通过追踪基向量的变化来理解。
也就是第一行乘第一列做第一个数值，第二行乘第一列做第二个数值。。。
计算过程.png
矩阵乘法没有交换律
AB不等于BA：直观理解，线性变换过程中会产生平移和伸缩吧，平移意味着加减，伸缩意味着乘除。比如向量（1，2），只说x坐标吧，先平移再伸缩：（1+5）3=18，如果先伸缩再平移：（1+3）5=20，明显不一样。所以没有交换律，计算必须从右到左，顺序很重要。
有结合律：ABC=A（BC）=（AB）C，除去繁琐的计算，最直观的还是理解矩阵乘法的意义。规则就是从右到左计算。
ABC 表示先经过C变换，再经过B变换，最后A变换。
A（BC）表示先经过C变换，再经过B变换，最后A变换。
（AB）C表示先经过C变换，再经过B变换，最后A变换。
可以看出，根据矩阵的意义和计算规则，有没有括号结果没影响。所以结合律成立。
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