爬楼梯

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。
每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？
注意： 给定 n 是一个正整数。
示例 1：

输入： 2
输出： 2
解释： 有两种方法可以爬到楼顶。
1.1 阶 + 1 阶
2.2 阶

示例 2：

输入： 3
输出： 3
解释： 有三种方法可以爬到楼顶。
1.1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2.1 阶 + 2 阶
3.2 阶 + 1 阶

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暴力法

分析

不妨举个例子，假设需要5阶才能到达楼顶，f(5)为到达楼顶的方法数。那么要到达第5阶，只可能有2种情况：1.从第4阶爬1个台阶；2.从第3阶爬2个台阶；这就把问题转化为求f(4)和f(3)，即f(5) = f(4) + f(3)，所以f(n) = f(n - 1) + f(n - 2)。

class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
        
        //f(1) = 1, f(2) = 2;
        //f(n) = f(n - 1) + f(n - 2);
        if(n == 1) return 1;
        if(n == 2) return 2;

        return climbStairs(n - 1) + climbStairs(n - 2);
    }
}

总结

代码虽然简单，但是我们画出递归树后会发现有很多冗余项，即很多重复计算，例如求f(11)，需要求 f(10) + f(9)，求f(10)又需要求f(9) + f(8)，求f(9)又需要求f(8) + f(7)，这里f(9)和f(8)分别计算了两次，非常耗时，其时间复杂度为O(2^n)，提交也不通过。下面我将介绍两种基于此算法的优化算法。

记忆化递归

分析

上文我们分析到递归会有大量重复计算，事实上递归过程是有先后顺序的，如果先前计算的结果可以存储，那么后面需要用到的话就可以直接拿去用了，这样时间复杂度降为O(n)，无疑是一次降维打击。

class Solution {
    
    public int climbStairs(int n) {
        
        int[] meno = new int[n + 1]; //存储每一次的结果，初始全为0
        return __climbStairs(n, meno);
    }
    
    public int __climbStairs(int n, int[] meno){
        
        if(n == 1) return 1;
        if(n == 2) return 2;
        if(meno[n] > 0) return meno[n]; //大于0就证明已经计算过了，直接返回
        meno[n] = __climbStairs(n - 1, meno) + __climbStairs(n - 2, meno);
        
        return meno[n];
    }
}

动态规划

分析

不难发现，这个问题可以被分解为一些包含最优子结构的子问题，即它的最优解可以从其子问题的最优解来有效地构建，我们可以使用动态规划来解决这一问题。令 dp[i] 表示能到达第 i 阶的方法总数，从上文的分析中易知该动态转移方程为dp[i] = dp[i - 1] + dp[ i - 2];

public class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
        if (n == 1) {
            return 1;
        }
        int[] dp = new int[n + 1];
        dp[1] = 1;
        dp[2] = 2;
        for (int i = 3; i <= n; i++) {
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
        }
        return dp[n];
    }
}

打表法

分析

如果单从通过这道题目来说，打表无疑是另辟蹊径，既然网站有时间限制，而且测试用例很适合打表，那么我在本地把每一种阶梯的方法数求出来，用一个容器存储，传入哪个阶梯我就有哪个答案，时间复杂度为O(1)。

public class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
        
        int result = 0;
        
        switch(n){
        case 1: result = 1; break;
        case 2: result = 2; break;
        case 3: result = 3; break;
        case 4: result = 5; break;
        case 5: result = 8; break;
        case 6: result = 13; break;
        case 7: result = 21; break;
        case 8: result = 34; break;
        case 9: result = 55; break;
        case 10: result = 89; break;
        case 11: result = 144; break;
        case 12: result = 233; break;
        case 13: result = 377; break;
        case 14: result = 610; break;
        case 15: result = 987; break;
        case 16: result = 1597; break;
        case 17: result = 2584; break;
        case 18: result = 4181; break;
        case 19: result = 6765; break;
        case 20: result = 10946; break;
        case 21: result = 17711; break;
        case 22: result = 28657; break;
        case 23: result = 46368; break;
        case 24: result = 75025; break;
        case 25: result = 121393; break;
        case 26: result = 196418; break;
        case 27: result = 317811; break;
        case 28: result = 514229; break;
        case 29: result = 832040; break;
        case 30: result = 1346269; break;
        case 31: result = 2178309; break;
        case 32: result = 3524578; break;
        case 33: result = 5702887; break;
        case 34: result = 9227465; break;
        case 35: result = 14930352; break;
        case 36: result = 24157817; break;
        case 37: result = 39088169; break;
        case 38: result = 63245986; break;
        case 39: result = 102334155; break;
        case 40: result = 165580141; break;
        case 41: result = 267914296; break;
        case 42: result = 433494437; break;
        case 43: result = 701408733; break;
        case 44: result = 1134903170; break;
        case 45: result = 1836311903; break;
        
        }
        return result;
    }
}

斐波那契公式

分析

从我们分析出来的递归公式可以看出这就是一个求斐波那契数的问题，那么根据斐波那契公式（公式通过求根公式或者数列的递推式可以求出）我们可以直接求得结果。

public class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
        double sqrt5=Math.sqrt(5);
        double fibn=Math.pow((1+sqrt5)/2,n+1)-Math.pow((1-sqrt5)/2,n+1);
        return (int)(fibn/sqrt5);
    }
}

参考文献

参考文章：https://leetcode-cn.com/problems/climbing-stairs/solution/pa-lou-ti-by-leetcode/