关于线性

线性的概念：
"线性"="齐次性"+"可加性",
"齐次性"是指类似于: f(ax)=af(x),
"可加性"是指类似于: f(x+y)=f(x)+f(y),

而对于单层感知器来说，是无法处理非线性的问题。非线性及不符合上述的条件的集合。
例如异或问题：

image.png

无法找到一个合适的直线，将两边分离开来。
所以这时候就需要用到了delta法则。

delta法则

delta 法则的关键思想是使用梯度下降(gradient descent)来搜索可能权向量的假设空间, 以找到最佳拟合训练样例的权向量。

由于在真实情况下，并不能保证训练集是线性可分的。因而，当训练集线性不可分时该如何训练感知器呢？这时我们使用delta法则，通过这种方式可以找出收敛到目标的最佳近似值。

其原理是：

image.png

因为其激活函数是线性的，所以一般被称为线性单元。

激活函数：

image.png

用向量表示就是：

image.png

当然在这一种情况下，还需要考虑其每次计算后的结果的误差，根据误差来调整权值。
而这就需要用到代价函数：

image.png

其中y为期望输出，y`为实际输出。

在求得误差结果最小的情况下，就是我们所求的最优解。注：这里的1/2只是为了后面的计算方便，没有实际意义。

为了求得代价函数最小，因为：

image.png

对路所有的样本的误差和来说：

image.png

所以公式可以改写为：

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因为对于样本来说（其实是监督学习的方式），x和y都是已知的，所以上述的公式中其实就是w和E(w)的关系。对整个代价函数来说，其实只有一个变量w。

这样如果想要获取E(w)的最小值，及误差最小，只需要获取的上述变量的最小值即可。因此我们可以使用导数的方式来求取最小值。当然计算机是不会解方程的，所以只能是一步一步的尝试出最小值。

因此引进梯度下降算法：

image.png

通过不断的改变w的值，来找到使得E(w)最小的位置：

image.png

对w求导结果：

image.png

这样就获取的权值调整公式。

我们可以来看一下推断出来的公式和上一章的单层感知器的差异：

image.png

其实只有激活函数不一样！！！
下面举个简单的例子说明一下：

问题

输入一组工作年限 [[5], [3], [8], [1.4], [10.1]]；
期望输出其代表的年薪：[5500, 2300, 7600, 1800, 11400]
通过随意输入一个工作年限来预算其的年薪。

代码：

# coding=utf-8
# numpy 支持高级大量的维度数组与矩阵运算
import numpy  as np
# Matplotlib 是一个 Python 的 2D绘图库
import matplotlib.pyplot as plt


#定义坐标,设定5组输入数据，每组为（x0,x1,）
X=np.array([[1,5],
            [1,3],
            [1,8],
            [1,1.4],
            [1,10.1]]);

#设定输入向量的期待输出值
Y=np.array([5500,2300,7600,1800,11400]);

#设定权值向量(w0,w1)
W = np.array([0,0]); 

#设定学习率
lr = 0.01;
#计算迭代次数
n=0;
#神经网络输出
O=0;

def  updateW():
    global  X,Y,W,lr,n;
    n+=1;
    O=np.dot(X,W.T);
    #计算权值
    W_Tmp = lr*((Y-O.T).dot(X))/int(X.shape[0]);
    #更新权值向量
    W = W+W_Tmp;

def draw():
    global W;

    x1=[5,3,8,1.4,10.1];
    y1=[5500,2300,7600,1800,11400];

    #绘制分割线需要的等差数列
    x=np.linspace(0,12);
    #创建子图
    plt.figure();
    #根据坐标绘图 激活函数：y=x1W1+w0
    plt.plot(x,x*W[1]+W[0],'r');
    plt.plot(x1,y1,'*');
    plt.show();

if __name__ == '__main__':
    #设置迭代次数
    for index in range (100):
        updateW();
        #获取组合器输出结果
        O=np.dot(X,W.T);
        #打印 实际值
        print O;

    draw();

执行结果：

image.png

参考：
线性学习器
https://blog.csdn.net/wasd6081058/article/details/7886697
零基础入门深度学习(2) - 线性单元和梯度下降（写的非常通俗易懂！！！感谢作者）
https://www.zybuluo.com/hanbingtao/note/448086
网易视频课程——深度学习入门系列
http://study.163.com/course/courseMain.htm?courseId=1004111045