行列式

作者: 暴走TA | 来源:发表于2019-11-23 23:51 被阅读0次

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【行列式】4、行列式的性质

方阵的行列式是从矩阵元素导出的一个标量，矩阵 $M$ 的行列式可以表示为 $detM$ ,书写方式如下
$detM=\left|\begin{matrix} M_{11}&M_{12}&M_{13}\\ M_{21}&M_{22}&M_{23}\\ M_{31}&M_{32}&M_{33} \end{matrix}\right|$
除去i行j列的矩阵表示为 $M^{\{i,j\}}$ ,如下:
$M=\left|\begin{matrix} 1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9 \end{matrix}\right|$
$M^{\{2,3\}}=\left|\begin{matrix} 1&2\\ 7&8 \end{matrix}\right|$
代数余子式除去第i行第j列的剩余矩阵元素的行列式
矩阵元素 $M^{\{i,j\}}$ 的代数余子式 $C_{ij}(M)$ 定义如下:
$C_{ij}(M)=(-1)^{i+j}detM^{i,j}$
矩阵初等行变换对行列式的影响
a 交换矩阵的两行，使行列式变号
b 给矩阵的某一行乘以标量a，等于行列式也乘以a
c 将矩阵的某一行的倍数加到其它行上，行列式的值不变
具有两个相同行的矩阵的行列式为0
当且仅当 $detM\not=0$ 时， $n\times n$ 矩阵 $M$ 可逆
对于任意两个 $n\times n$ 矩阵 $F和G$ , $detFG=detFdetG$
令 $F为n\times n$ 矩阵，另外一个 $n\times n$ 矩阵的G的元素定义如下:
$G_{ij}=\frac{C_{ji}(F)} {defF}$
其中 $C_{ji}(F)$ 是 $(F^T)_{ij}$ 的代数余子式，则 $G=F^{-1}$
所以上述条件也能写成:
$G_{ij}=\frac{C_{ij}(F^T)} {defF}$
矩阵 $M$ 的逆矩阵可以表示成 $M^C/detM$ ,其中符号 $M^C$ 表示矩阵 $M^T$ 元素的代数余子式矩阵，即 $(M^C)_{ij}=C_{ij}(M^T)$
$defG=\sum ^n_{j=1}M_{kj}C_{kj}(M)$
$=\sum ^n_{j=1}M_{kj}C_{jk}(M^T)$
$=\sum^n_{j=1}M_{kj}(M^C)_{jk}$