2019年1月30日在广州德麦语数英群小波老师给我们上了三视角智慧学数学的第一课。想更多了解小波老师，可以点阅饭团文章：一位失败的数学系学生和一位成功的数学教师。还想了解更多关于数学学习的朋友，请在本文后加小波老师微信咨询。
小波老师真容
本文是课堂实录，“我”是指小波老师。横看成岭侧成峰，远近高低各不同。多易必多难。要想获得真知，欢迎进群进行互动思考。不然不过是在他人的跑马场上驰骋而已。
本文如实记录，以飨读者。
一上课，小波老师就贴出了上课的温馨提示。（上课我们是认真的。）
我希望在我们这个群中具有这样一种氛围：
1.群上每个人都对话题兴趣浓厚、非常热情。
2.本群有共同的愿景和目标，这个愿景和目标既具有挑战性，也是现实可行的，因此每个人都颇有认同感。
3.每个人的投入都得到认可，因此感到受重视。
4.在探讨想法的时候，有自己的语言和专门的词汇。
5.不仅是老师们，群上的每个人都在不断提问，并探讨各种想法。
6.老师会掌控参与情况，让大家共享舞台，以免有成员独占表现的机会。
7.老师们全心投入，从内心深处感兴趣，而且富有激情，是好学之人。
8.群里成员真诚互动、互相倾听，你感觉自己的发言得到了聆听。
9.我们有时间去思考，并给出回应，组织自己的想法。
10.我们敢于冒险，敢于犯错误。冒险和犯错被看成学习过程的有机部分。
11.有激动人心的群体互动。我们互相倾慕、互相督促、互相扶持。
12.我们的学习与生活紧密相连，有价值，有意义。
如此，我们就建立起一个思考的文化，我们的社会建构式学习就有了很好的基础。大家一起加油！
以前我上学时，以老师为中心——老师讲，我听！
后来我做老师时，以学生为中心——让学生谈论参与。
这其实都是在‘’二元‘’里倒来倒去。
课堂教学改革似乎一直没有走出教与学关系的“二元对立”困境，要么是教中心，要么是学中心。
从“二元对立”走向了“教学相生”的第三种教学时空，
即教中有学，学中有教，师非师，生非生，师亦生，生亦师，师生互动，生生互动，师师互动。
小波老师介绍
今晚的题目是：如何高效学习数学？
现代人喜欢高效率，我也喜欢。效率是一个跟时间有关系的描述。意思大概是，用最短的时间，把事情做好。
而今晚我们的题目是，如何高效学习数学？
大家说说看，通常会有哪些因素影响到孩子们学习数学的效率？
学员回答汇总：手机影响; 对学数学有阴影; 兴趣低; 无聊; 恐惧; 不想刷题; 不理解，不能系统的学习; 理解力差; 理解不了题目; 数学语言不懂; 基本概念没有掌握; 缺乏解题方法; 粗心; 没有耐心; 难度大; 不喜欢老师; 听不懂; 上课不听......
总结一下，刚刚大家的发言，可以分为三个部分。
第一、跟理解有关。感到理解数学概念、数学思维、数学语言（表述）有困难。
第二、学习过程出现种种问题。
第三、情感上厌恶，由恐惧、无聊等因素引起的情感上的远离。
这就是学习的知、意、情都出现问题，需要全面修复。
当孩子在知、意、情三方面都得到改善提升的时候，学习效率就得到提升。
当前的大环境，大家比较关注分数，其实分数有一个作用，就是“激励”，也说明大家都看到了，激励的因素对孩子学习的帮助很大。但分数只是激励的一个方面、一种方式。分数有时是有效的激励，但如果长期只有分数，那么就会显得过于单调，并容易使分数的激励方式失效。所以我们需要更多的激励方式。
比如，向孩子展现数学的美，吸引他们的兴趣，这是不错的激励。
如果孩子看到类似如下这些，他们大概会喜欢。
我认为最好的激励，是孩子能够不断地掌握所学的内容，从所学的内容中不断获得成就感，这是最好的激励。而这是数学学习的核心。
数学给人的印象，最为深刻的就是逻辑性强，推理多。而推理是分三种的，大家知道是哪三种推理方式吗？
三大推理方式有： 类比、演绎、归纳。
数学上使用的最多的是哪一种？
那些做实验的科学，归纳使用得比较多。数学上使用最多的是演绎。
比如：长方形的面积=长×宽
然后你就拿这个公式去计算各种各样的长方形的面积，这就是演绎。
数学上的公式不太可能是“归纳”出来的，如果你归纳了一个结论，通常不被承认，至多可以成为猜想。
正因为数学演绎推理如此强悍，所以大家常常也用演绎的方式来学习数学：先熟记公式，然后刷题（演绎）。
这其实是不得要领，效率极为低下的学习方式。
其实，在学习的时候，我们应该要更加注重类比推理的运用，因为我们对事物、事理的理解几乎都是从类比得来的。当我们能够从类比得到一个概念的时候，我们会感觉到我们理解了这个概念。
大家知道什么是类比推理吗？
出生不久的婴孩，能够认出爸爸、妈妈以及身边熟悉的人，但他从来没有见到过自己容貌。当这个婴孩照镜子的时候，他怎么知道镜子中的人是自己呢？
他其实是使用了一个推理。什么推理呢？他在爸爸旁边，而他看到镜子中出现了旁边爸爸，他想，既然那位是爸爸，那么旁边的那个应该就是我。这就是类比推理。
下面我给大家出一道数学题。
562-338-162=？
这是小学数学中很常见的计算，而且通常要求所谓“简便运算”。
大家都知道怎么简便吗？大家知道孩子们感到难理解的地方在哪里吗？为什么562-238-162=562-（238+162）？
如果我们告诉孩子，这是减法的性质，提取负号，这运用的就是演绎方式。演绎就是让孩子先知道，或者记住一个普遍定律，然后在具体的情形中加以辨认和运用。
可是我们告诉孩子这是减法的性质，那么“减法的性质”这几个字对孩子来说几乎是不可理解的。非常抽象。
这时候我们应该使用类比推理，帮助孩子来理解这里的运算方式。
找一些孩子能理解的例子，比如10-2-3=10-（2+3）。
孩子会使用类比推理，
既然10-2-3=10-（2+3），那么562-238-162=562-（238+162）
而且，通常一个例子不够，他们需要更多的例子。
当例子更多一些，他们就自己慢慢会归纳，让他们自己归纳出来“减法的性质”（可以不使用这个名字）。
并且我们可以为那些简单的例子编一些故事，比如，你拿10元去便利店买零食，买了一包饼干2元，买一瓶可乐3元。那么怎么计算应该找回几元钱？
他们会很容易理解两种计算找零的方式：
1、先付饼干2元，找8元（10-8）；再付可乐3元，找5元（8-3）；
2、先算出一共要付多少钱（2+3），再一起减：10-（2+3）
在数学的教学上，有大量这样的例子，我们应该充分应用类比推理来帮助孩子理解那些概念。当他们理解的时候，才是他们学习效率高的时候。
大家倾向于认为总是要很快地掌握，才是快，才是效率高，其实是不对的。效率并不总是线性的。有的时候我们在一段时间内，看起来效率低，但其实在更长的时间看，效率是高的。
比如，我自己的孩子初学习的时候，我们都是用很慢的方式进行，但现在她可以跟五年级在校生一起学习奥数，并在课堂上表现占上风（她今年9岁）。
跟随我的网课一起学习的孩子们也是，我们花了大量的时间学习简单的乘法，并且不背诵乘法口诀，看起来慢，实际上对增进孩子对乘法的理解大有好处。
比如，有不少学生到五、六年级都无法理解这个方程: 3x+10=5x+6, 为什么两边要同时减去3x?
为什么两边要同时减去3x?
可是如果你写成这样，他们瞬间就理解了?
x+x+x+10=x+x+x+x+x+6
可是为什么学生自己想不到，也理解不到呢？是因为当初学乘法的时候就没学明白，他们不真正明白一个乘3是什么意思，都是背的乘法口诀。
所以，我们要帮助他们理解乘法，而这需要大量的时间，需要耐心，需要等待，需要大量的例子、大量的类比、归纳，他们才能一点点地明白，这样看起来就会很慢，但以后就会很快了。
如果追求快，那就是背口诀，背公式。
可是，越往后学习，不理解的内容越多。当一个人头脑中背负大量自己无法理解的信息，他的内心是极其恐惧和排斥的，所以越往后，效率就会越低，甚至无法再进行进一步的学习。
我们看到大量这样的例子，许多孩子小学的时候，数学经常考100分，成为家中的骄傲；上了初中以后成绩有所下滑；而上高中后，成绩出现断崖式的掉，常常不及格。所以就感慨，高中的数学很难。其实原因是，他过往学的那些，自己都没有好好理解过。
学数学不能急在一时，真正明白了才是王道，慢就是快。
学员反馈1
学员反馈2
学员反馈3
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