Logistic Regression（吴恩达课程Octave代

详细代码参考：github

Logistics回归

实例：
建立Logistics模型，根据学生的两门考试成绩，判断该学生是否能被大学录取。

1.可视化数据

解决问题前，不妨先看下数据是怎么分布的，训练数据为100位同学两门课的成绩和录取结果，shape为（100 ，3），根据录取结果，录取的“+”表示，不能录取的“·”表示，根据图中分布，大致存在一条直线能够将两部分数据进行分类，接下来就去求解这条直线。

数据可视化
参考代码：

def plottingData(self):
    y1_index = np.where(self.y == 1.0)
    x1 = self.x[y1_index[0]]
    y0_index = np.where(self.y == 0.0)
    x0 = self.x[y0_index[0]]
    plt.scatter(x1[:, 0], x1[:, 1], marker='+', color='k')
    plt.scatter(x0[:, 0], x0[:, 1], color='y')
    plt.xlabel('Exam 1 score')
    plt.ylabel('Exam 2 score')

2.Sigmoid函数

我们暂且只考虑二分类问题，根据sigmoid函数的结果，当结果大于0.5时，判断为1，结果小于0.5时，判断为0.
公式：

sigmoid

参考代码：(比较简单，考虑矩阵也要用)

def sigmoid(self, z):
    return 1 / (1 + np.exp(-z))

def predict0_1(self, theta):
    self.p = np.zeros((100, 1))
    self.p = self.sigmoid(self.x_plus1.dot(np.array(theta).reshape(3, 1)))
    for i in range(len(self.p)):
        if self.p[i] < 0.5:
            self.p[i] = 0
        else:
            self.p[i] = 1
        i += 1
    return self.p

3.损失函数和梯度

逻辑回归的损失函数分为两部分，将y=0 和y=1的部分结合在一起，整体写出来如下。尤其注意矩阵相乘的时候维度匹配的问题，我经常在本子上把维度计算下，如：x的shape(100, 3)，theta(3, 1)结果shape肯定是（100，1），如果程序报维度错误，也能很快的发现哪里需要修改。

CostJ
Gradient

参考代码:

def costFunction(self, theta):
    m = len(self.y)
    J = np.sum(-np.dot(self.y.T, np.log(self.sigmoid(self.x_plus1.dot(theta))))\
        -np.dot((1-self.y).T, np.log(1-self.sigmoid(self.x_plus1.dot(theta)))), axis=0) / m
    return J

def gradient(self, theta):
    m = len(self.y)
    theta = theta.reshape((3, 1))
    grad = np.dot(self.x_plus1.T, (self.sigmoid(self.x_plus1.dot(theta))-self.y)) / m
    return grad

4.求解最优的theta

如果利用梯度下降的方法求解比较费时间，有大神已经尝试，在这里就不展开了，原Octave程序中使用了fminunc函数，经查找，发现了一篇大神的博客:Python fminunc 的替代方法，利用scipy.optimize中的minimize函数，详细内容还是看大神的博客，尤其注意result = op.minimize(fun=costFunction, x0=initial_theta, args=(X, Y), method='TNC', jac=gradient)中x0的维度，应该是（n, )。

参考代码：

def fminunc(self):  # costFunction需要几个参数就传几个,本例中只有一个theta,固x0,也可以利用args=()
    optiTheta = op.minimize(fun=self.costFunction, x0=self.init_theta, method='TNC', jac=self.gradient)
    return optiTheta  # dict

5.绘制拟合曲线

由于特征为两个，这里采取简单的两点绘制直线的方法。

拟合直线
参考代码：

def plotRegLine(self):  # 两点确定一条直线
    self.opti_theta = self.fminunc()['x']
    plot_x = [np.min(self.x[:, 0]), np.max(self.x[:, 1])]  # [A, B]
    plot_y = [-(self.opti_theta[0] + self.opti_theta[1]*x)/self.opti_theta[2] for x in plot_x]  # [A, B]
    self.plottingData()
    plt.plot(plot_x, plot_y)
    plt.legend(['Decision Boundary', 'Admitted', 'Not admitted'])
    plt.show()

5.准确率

利用求得的最优解theta反过来求解x的分类，和y本身做对比，求解准确率，得到结果为89%，这里没有单独设置测试集，也可以随机80%的数据作为训练集，剩余20%用作测试集。
参考代码：：

def predictAndAccuracies(self):
    prob = self.sigmoid(np.array(self.opti_theta).reshape(1, 3).dot(np.array([[1], [45], [85]])))
    print('For a student with scores with 45 and 85, we predict an admission probability of %f' % prob)
    accuracy = np.mean(self.predict0_1(self.opti_theta) == self.y)*100
    print('Train Accuracy: %f' % accuracy)

6.参考

1.Python fminunc 的替代方法