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引子
最近在研究推荐系统中已读内容排除以及重复内容去重相关的问题，布隆过滤器是解决这类问题最好的工具之一，很值得专门写一篇文章来详细讲解。
布隆过滤器介绍
布隆过滤器（Bloom Filter，下文简称BF）由Burton Howard Bloom在1970年提出，是一种空间效率高的概率型数据结构。它专门用来检测集合中是否存在特定的元素。听起来是很稀松平常的需求，为什么要使用BF这种数据结构呢？
产生的契机
回想一下，我们平常在检测集合中是否存在某元素时，都会采用比较的方法。考虑以下情况：
- 如果集合用线性表存储，查找的时间复杂度为O(n)。
- 如果用平衡BST（如AVL树、红黑树）存储，时间复杂度为O(logn)。
-
如果用哈希表存储，并用链地址法与平衡BST解决哈希冲突（参考JDK8的HashMap实现方法），时间复杂度也要有O[log(n/m)]，m为哈希分桶数。
总而言之，当集合中元素的数量极多时，不仅查找会变得很慢，而且占用的空间也会大到无法想象。BF就是解决这个矛盾的利器。
设计思想
BF是由一个长度为m比特的位数组（bit array）与k个哈希函数（hash function）组成的数据结构。位数组均初始化为0，所有哈希函数都可以分别把输入数据尽量均匀地散列。
当要插入一个元素时，将其数据分别输入k个哈希函数，产生k个哈希值。以哈希值作为位数组中的下标，将所有k个对应的比特置为1。
当要查询（即判断是否存在）一个元素时，同样将其数据输入哈希函数，然后检查对应的k个比特。如果有任意一个比特为0，表明该元素一定不在集合中。如果所有比特均为1，表明该集合有（较大的）可能性在集合中。为什么不是一定在集合中呢？因为一个比特被置为1有可能会受到其他元素的影响，这就是所谓“假阳性”（false positive）。相对地，“假阴性”（false negative）在BF中是绝不会出现的。
下图示出一个m=18, k=3的BF示例。集合中的x、y、z三个元素通过3个不同的哈希函数散列到位数组中。当查询元素w时，因为有一个比特为0，因此w不在该集合中。
优缺点与用途
BF的优点是显而易见的：
- 不需要存储数据本身，只用比特表示，因此空间占用相对于传统方式有巨大的优势，并且能够保密数据；
- 时间效率也较高，插入和查询的时间复杂度均为O(k)；
- 哈希函数之间相互独立，可以在硬件指令层面并行计算。
但是，它的缺点也同样明显：
- 存在假阳性的概率，不适用于任何要求100%准确率的情境；
- 只能插入和查询元素，不能删除元素，这与产生假阳性的原因是相同的。我们可以简单地想到通过计数（即将一个比特扩展为计数值）来记录元素数，但仍然无法保证删除的元素一定在集合中。
所以，BF在对查准度要求没有那么苛刻，而对时间、空间效率要求较高的场合非常合适，本文第一句话提到的用途即属于此类。另外，由于它不存在假阴性问题，所以用作“不存在”逻辑的处理时有奇效，比如可以用来作为缓存系统（如Redis）的缓冲，防止缓存穿透。
假阳性率的计算
假阳性是BF最大的痛点，因此有必要权衡，比如计算一下假阳性的概率。为了简单一点，就假设我们的哈希函数选择位数组中的比特时，都是等概率的。当然在设计哈希函数时，也应该尽量满足均匀分布。
在位数组长度m的BF中插入一个元素，它的其中一个哈希函数会将某个特定的比特置为1。因此，在插入元素后，该比特仍然为0的概率是：
现有k个哈希函数，并插入n个元素，自然就可以得到该比特仍然为0的概率是：
反过来讲，它已经被置为1的概率就是：
也就是说，如果在插入n个元素后，我们用一个不在集合中的元素来检测，那么被误报为存在于集合中的概率（也就是所有哈希函数对应的比特都为1的概率）为：
当n比较大时，根据重要极限公式，可以近似得出假阳性率：
所以，在哈希函数的个数k一定的情况下：
- 位数组长度m越大，假阳性率越低；
- 已插入元素的个数n越大，假阳性率越高。
事实上，即使哈希函数不是等概率选择比特的，最终也会得出相同的结果，可以借助吾妻-霍夫丁不等式（Azuma-Hoeffding inequality）证明。我数学比较垃圾，就不班门弄斧了。
有一些框架内已经内建了BF的实现，免去了自己实现的烦恼。下面以Guava为例，看看Google是怎么做的。
Guava中的布隆过滤器
采用Guava 27.0.1版本的源码，BF的具体逻辑位于com.google.common.hash.BloomFilter类中。开始读代码吧。
BloomFilter类的成员属性
不多，只有4个。
/** The bit set of the BloomFilter (not necessarily power of 2!) */
private final LockFreeBitArray bits;
/** Number of hashes per element */
private final int numHashFunctions;
/** The funnel to translate Ts to bytes */
private final Funnel<? super T> funnel;
/** The strategy we employ to map an element T to {@code numHashFunctions} bit indexes. */
private final Strategy strategy;
- bits即上文讲到的长度为m的位数组，采用LockFreeBitArray类型做了封装。
- numHashFunctions即哈希函数的个数k。
- funnel是Funnel接口实现类的实例，它用于将任意类型T的输入数据转化为Java基本类型的数据（byte、int、char等等）。这里是会转化为byte。
- strategy是布隆过滤器的哈希策略，即数据如何映射到位数组，其具体方法在BloomFilterStrategies枚举中。
BloomFilter的构造
这个类的构造方法是私有的。要创建它的实例，应该通过公有的create()方法。它一共有5种重载方法，但最终都是调用了如下的逻辑。
@VisibleForTesting
static <T> BloomFilter<T> create(
Funnel<? super T> funnel, long expectedInsertions, double fpp, Strategy strategy) {
checkNotNull(funnel);
checkArgument(
expectedInsertions >= 0, "Expected insertions (%s) must be >= 0", expectedInsertions);
checkArgument(fpp > 0.0, "False positive probability (%s) must be > 0.0", fpp);
checkArgument(fpp < 1.0, "False positive probability (%s) must be < 1.0", fpp);
checkNotNull(strategy);
if (expectedInsertions == 0) {
expectedInsertions = 1;
}
/*
* TODO(user): Put a warning in the javadoc about tiny fpp values, since the resulting size
* is proportional to -log(p), but there is not much of a point after all, e.g.
* optimalM(1000, 0.0000000000000001) = 76680 which is less than 10kb. Who cares!
*/
long numBits = optimalNumOfBits(expectedInsertions, fpp);
int numHashFunctions = optimalNumOfHashFunctions(expectedInsertions, numBits);
try {
return new BloomFilter<T>(new LockFreeBitArray(numBits), numHashFunctions, funnel, strategy);
} catch (IllegalArgumentException e) {
throw new IllegalArgumentException("Could not create BloomFilter of " + numBits + " bits", e);
}
}
该方法接受4个参数：funnel是插入数据的Funnel，expectedInsertions是期望插入的元素总个数n，fpp即期望假阳性率p，strategy即哈希策略。
由上可知，位数组的长度m和哈希函数的个数k分别通过optimalNumOfBits()方法和optimalNumOfHashFunctions()方法来估计。
估计最优m值和k值
@VisibleForTesting
static long optimalNumOfBits(long n, double p) {
if (p == 0) {
p = Double.MIN_VALUE;
}
return (long) (-n * Math.log(p) / (Math.log(2) * Math.log(2)));
}
@VisibleForTesting
static int optimalNumOfHashFunctions(long n, long m) {
// (m / n) * log(2), but avoid truncation due to division!
return Math.max(1, (int) Math.round((double) m / n * Math.log(2)));
}
要看懂这两个方法，我们得接着上一节的推导继续做下去。
由假阳性率的近似计算方法可知，如果要使假阳性率尽量小，在m和n给定的情况下，k值应为：
这就是optimalNumOfHashFunctions()方法的逻辑。那么m该如何估计呢？
亦即：
这就是optimalNumOfBits()方法的逻辑。
从上也可以得出：
- 如果指定期望假阳性率p，那么最优的m值与期望元素数n呈线性关系。
-
最优的k值实际上只与p有关，与m和n都无关，即：
所以，在创建BloomFilter时，确定合适的p和n值很重要。
哈希策略
在BloomFilterStrategies枚举中定义了两种哈希策略，都基于著名的MurmurHash算法，分别是MURMUR128_MITZ_32和MURMUR128_MITZ_64。前者是一个简化版，所以我们来看看后者的实现方法。
MURMUR128_MITZ_64() {
@Override
public <T> boolean put(
T object, Funnel<? super T> funnel, int numHashFunctions, LockFreeBitArray bits) {
long bitSize = bits.bitSize();
byte[] bytes = Hashing.murmur3_128().hashObject(object, funnel).getBytesInternal();
long hash1 = lowerEight(bytes);
long hash2 = upperEight(bytes);
boolean bitsChanged = false;
long combinedHash = hash1;
for (int i = 0; i < numHashFunctions; i++) {
// Make the combined hash positive and indexable
bitsChanged |= bits.set((combinedHash & Long.MAX_VALUE) % bitSize);
combinedHash += hash2;
}
return bitsChanged;
}
@Override
public <T> boolean mightContain(
T object, Funnel<? super T> funnel, int numHashFunctions, LockFreeBitArray bits) {
long bitSize = bits.bitSize();
byte[] bytes = Hashing.murmur3_128().hashObject(object, funnel).getBytesInternal();
long hash1 = lowerEight(bytes);
long hash2 = upperEight(bytes);
long combinedHash = hash1;
for (int i = 0; i < numHashFunctions; i++) {
// Make the combined hash positive and indexable
if (!bits.get((combinedHash & Long.MAX_VALUE) % bitSize)) {
return false;
}
combinedHash += hash2;
}
return true;
}
private /* static */ long lowerEight(byte[] bytes) {
return Longs.fromBytes(
bytes[7], bytes[6], bytes[5], bytes[4], bytes[3], bytes[2], bytes[1], bytes[0]);
}
private /* static */ long upperEight(byte[] bytes) {
return Longs.fromBytes(
bytes[15], bytes[14], bytes[13], bytes[12], bytes[11], bytes[10], bytes[9], bytes[8]);
}
};
其中put()方法负责向布隆过滤器中插入元素，mightContain()方法负责判断元素是否存在。以put()方法为例讲解一下流程吧。
- 使用MurmurHash算法对funnel的输入数据进行散列，得到128bit（16B）的字节数组。
- 取低8字节作为第一个哈希值hash1，取高8字节作为第二个哈希值hash2。
- 进行k次循环，每次循环都用hash1与hash2的复合哈希做散列，然后对m取模，将位数组中的对应比特设为1。
这里需要注意两点：
-
在循环中实际上应用了双重哈希（double hashing）的思想，即可以用两个哈希函数来模拟k个，其中i为步长：
这种方法在开放定址的哈希表中，也经常用来减少冲突。
- 哈希值有可能为负数，而负数是不能在位数组中定位的。所以哈希值需要与Long.MAX_VALUE做bitwise AND，直接将其最高位（符号位）置为0，就变成正数了。
位数组具体实现
来看LockFreeBitArray类的部分代码。
static final class LockFreeBitArray {
private static final int LONG_ADDRESSABLE_BITS = 6;
final AtomicLongArray data;
private final LongAddable bitCount;
LockFreeBitArray(long bits) {
this(new long[Ints.checkedCast(LongMath.divide(bits, 64, RoundingMode.CEILING))]);
}
// Used by serialization
LockFreeBitArray(long[] data) {
checkArgument(data.length > 0, "data length is zero!");
this.data = new AtomicLongArray(data);
this.bitCount = LongAddables.create();
long bitCount = 0;
for (long value : data) {
bitCount += Long.bitCount(value);
}
this.bitCount.add(bitCount);
}
/** Returns true if the bit changed value. */
boolean set(long bitIndex) {
if (get(bitIndex)) {
return false;
}
int longIndex = (int) (bitIndex >>> LONG_ADDRESSABLE_BITS);
long mask = 1L << bitIndex; // only cares about low 6 bits of bitIndex
long oldValue;
long newValue;
do {
oldValue = data.get(longIndex);
newValue = oldValue | mask;
if (oldValue == newValue) {
return false;
}
} while (!data.compareAndSet(longIndex, oldValue, newValue));
// We turned the bit on, so increment bitCount.
bitCount.increment();
return true;
}
boolean get(long bitIndex) {
return (data.get((int) (bitIndex >>> 6)) & (1L << bitIndex)) != 0;
}
// ....
}
看官应该能明白为什么它要叫做“LockFree”BitArray了，因为它是采用原子类型AtomicLongArray作为位数组的存储的。另外还有一个Guava中特有的LongAddable类型的计数器，用来统计置为1的比特数。
采用AtomicLongArray除了有并发上的优势之外，更主要的是它可以表示非常长的位数组。一个长整型数占用64bit，因此data[0]可以代表第0~63bit，data[1]代表64~127bit，data[2]代表128~191bit……依次类推。这样设计的话，将下标i无符号右移6位就可以获得data数组中对应的位置，再在其基础上左移i位就可以取得对应的比特了。
最后多嘴一句，上面的代码中用到了Long.bitCount()方法计算long型二进制表示中1的数量，堪称Java语言中最强的骚操作之一：
public static int bitCount(long i) {
// HD, Figure 5-14
i = i - ((i >>> 1) & 0x5555555555555555L);
i = (i & 0x3333333333333333L) + ((i >>> 2) & 0x3333333333333333L);
i = (i + (i >>> 4)) & 0x0f0f0f0f0f0f0f0fL;
i = i + (i >>> 8);
i = i + (i >>> 16);
i = i + (i >>> 32);
return (int)i & 0x7f;
}
总结
本文讲解了布隆过滤器的产生、设计思路和应用场景，通过简单推导明确了其假阳性问题。另外，又通过阅读Guava中BloomFilter的相关源码，了解了设计布隆过滤器的技术要点。之后还会另外写文章讲述我们在生产环境中的具体应用。
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