EM

作者: BigPeter | 来源:发表于2018-12-16 18:30 被阅读0次

每日一句
营养早餐
2018-05-18
买一赠一
错的不是你，是你姐姐——我
可爱又治愈的晚安文案
再一次听到那渗人的声音（7.24）
招聘在线家教
爱美的我们
晨间日记

概述

EM算法迭代地通过E步和M步求解含隐变量的模型的参数，可以使用极大似然估计法，也可以使用贝叶斯估计法。

术语

三硬币模型：假设有3枚硬币A,B,C,正面出现的概率分别为a,b,c.进行如下抛硬币试验：先掷硬币A，根据其结果选出硬币B或C，正面选A，反面选B；然后抛掷选出的硬币，记录掷硬币的结果，正面为1，反面为0。独立重复n次试验。

观测变量：概率模型中可以观测到的随机变量。比如朴素贝叶斯模型中的输入X(待分类文本等)，上面例子中的最后掷硬币的结果.常用Y表示观测变量的数据

隐变量(潜在变量)：概率模型中观测不到的随机变量，比如上面例子中的掷硬币A的结果，常用Z表示隐变量的数据

完全数据：Y和Z连在一起称为完全数据

不完全数据：只有Y

EM算法

预备知识

Jensen不等式：

若f(x)是凸函数，有

$tf(x_1) +(1-t)f(x_2) \geq f\left (tx_1+(1-t)x_2 \right)$

直觉理解就是凸函数任意两点的割线位于函数图形上方

若对于任意点集 $\{x_i\}$ ,若 $\lambda_i \geq 0$ 且 $\sum_{i}\lambda_i = 1$ ，有

$\sum_i \lambda_i f(x_i)\geq f(\sum_i \lambda_ix_i)$

推导

我们面对一个含有隐变量的概率模型，目标是极大化观测数据(不完全数据)Y关于参数 $\theta$ 的对数似然函数，即极大化

$L(\theta)=\log P(Y|\theta)=\log \sum_{Z}P(Y,Z|\theta)=\log \left (\sum_{Z}P(Y|Z,\theta)P(Z|\theta) \right )$

由于优化函数中含未观测数据并包含和的对数，所以直接优化很难。

考虑迭代优化 $L(\theta)$ ，假设在第i次迭代后 $\theta$ 的估计值为 $\theta_i$ ,我们希望下次迭代新的估计值能够使 $L(\theta) \gt L(\theta_i)$ ,一直迭代直到得到 $L(\theta)$ 极大值。考虑两者的差

$\begin{align*}L(\theta)-L(\theta_i)&=\log \left (\sum_{Z}P(Y|Z,\theta)P(Z|\theta) \right )-\log P(Y|\theta_i) \\&=\log \left (\sum_{Z}P(Z|Y,\theta_i)\frac{P(Y|Z,\theta)P(Z|\theta)}{P(Z|Y,\theta_i)} \right ) -\log P(Y|\theta_i) \\&\geq\sum_ZP(Z|Y,\theta_i)\log \frac{P(Y|Z,\theta)P(Z|\theta)}{P(Z|Y,\theta_i)} -\log P(Y|\theta_i) \ \ \ \ \ \ 利用jensen不等式\\&=\sum_ZP(Z|Y,\theta_i)\log \frac{P(Y|Z,\theta)P(Z|\theta)}{P(Z|Y,\theta_i)} - \log P(Y|\theta_i)\sum_ZP(Z|Y,\theta_i) \\&=\sum_ZP(Z|Y,\theta_i)\log \frac{P(Y|Z,\theta)P(Z|\theta)}{P(Z|Y,\theta_i)P(Y|\theta_i)}\end{align*}$

令 $B(\theta, \theta_i)=L(\theta_i)+\sum_ZP(Z|Y,\theta_i)\log \frac{P(Y|Z,\theta)P(Z|\theta)}{P(Z|Y,\theta_i)P(Y|\theta_i)}$ ,

则 $L(\theta) \geq B(\theta, \theta_i)$ ,即函数 $B(\theta, \theta_i)$ 是函数 $L(\theta)$ 的一个下界【不同迭代B函数不同，随着迭代的增加B函数越接近L】，因此任何可以使 $B(\theta, \theta_i)$ 增大的 $\theta$ 也可以使 $L(\theta)$ 增大。为了使 $L(\theta)$ 有尽可能大的增长，选择 $\theta$ 使 $B(\theta, \theta_i)$ 达到极大，即

$\begin {align*}\theta_i&=\arg \max_{\theta}B(\theta, \theta_i)\\&=\arg \max_{\theta}\left \{L(\theta_i)+\sum_ZP(Z|Y,\theta_i)\log \frac{P(Y|Z,\theta)P(Z|\theta)}{P(Z|Y,\theta_i)P(Y|\theta_i)} \right \} \\&=\arg \max_{\theta}\left \{\sum_ZP(Z|Y,\theta_i)\log \left(P(Y|Z,\theta)P(Z|\theta)\right) \right \} \\&=\arg \max_{\theta}\left \{\sum_ZP(Z|Y,\theta_i)\log P(Y,Z|\theta) \right \}\end{align*}$

上式中最优化的函数称为Q函数，不断迭代这个过程直到收敛就得到了使似然函数近似极大的参数。

正式定义

EM算法通过迭代最大化似然函数，每次迭代分为两步：E步，求期望；M步，求极大化。具体过程如下：

选择参数初值，开始迭代；

E步：计算Q函数

$\begin {align*}Q(\theta, \theta_i)&=E_Z[\log P(Y,Z|\theta)|Y,\theta_i] \\&= \sum_Z P(Z|Y,\theta_i) \log P(Y,Z|\theta)\end {align*}$

M步：求使Q函数极大化的 $\theta$ ,确定i+1次迭代的参数估计值 $\theta_{i+1}$ :

$\theta_{i+1}=\arg \max_\theta Q(\theta, \theta_i)$

迭代至收敛。

说明

EM算法可以任意初始化参数初值，但是对初值敏感，实践中经常取多个不同的初始值并进行比较，选择较好的初始值。

当参数值的变化或Q函数的变化小于某个阈值时，停止迭代。

EM算法无法保证得到全局最优值，这也是选取多个初始值比较的根本原因

上面Q函数是对于单次试验的期望,对于多次试验可以求多次试验的期望和作为Q函数（使用求积表示似然函数）

解决三硬币问题

假设三硬币模型最后观察到的结果是1101001011，求abc。

令Z为抛掷硬币A的结果，Y为最后的观察结果。对一次实验，有

$\begin {align*}P(Y=y)&=\sum_Z P(Y,Z)=P(Y|Z=1)P(Z=1)+P(Y|Z=0)P(Z=0) \\&=ab^y(1-b)^{1-y}+(1-a)c^y(1-c)^{1-y}\end {align*}$

计算Q函数

$\begin {align*}Q(\theta, \theta_i)&=\sum_Z P(Z|Y,\theta_i) \log P(Y,Z|\theta) \\&=\sum_Z \frac{P(Y,Z|\theta_i)}{P(Y|\theta_i)} \log P(Y,Z|\theta) \\&=\frac{a_ib_i^y(1-b_i)^{1-y}}{a_ib_i^y(1-b_i)^{1-y}+(1-a_i)c_i^y(1-c_i)^{1-y}} \log {ab^y(1-b)^{1-y}} + \frac{(1-a_i)c_i^y(1-c_i)^{1-y}}{a_ib_i^y(1-b_i)^{1-y}+(1-a_i)c_i^y(1-c_i)^{1-y}} \log {(1-a)c^y(1-c)^{1-y}} \\&=\mu_i \log {ab^y(1-b)^{1-y}} + (1-\mu_i)\log {(1-a)c^y(1-c)^{1-y}}\end {align*}$

求多次试验的Q函数，有

$Q(\theta, \theta_i)_{multi}=\sum_{j=1}^n{[\mu_i^j \log {ab^{y_j}(1-b)^{1-y_j}}+(1-\mu_i^j)\log {(1-a)c^{y_j}(1-c)^{1-y_j}}]}$

求导数，有

$\frac{\delta Q}{\delta a} =\sum_{j=1}^n \frac{\mu_i^j - a}{a(1-a)}=0$

有 $a_{i+1}=a=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^n\mu_i^j$

同理有

$b_{i+1}=\frac{\sum_{j=1}^n\mu_i^jy_j}{\sum_{j=1}^n\mu_i^j}$

$c_{j+1}=\frac{\sum_{j=1}^n(1-\mu_i^j)y_j}{\sum_{j=1}^n(1-\mu_i^j)}$

令 $\theta_0=(a_0,b_0, c_0)=(0.5, 0.5, 0.5)$ ,有 $\hat \theta = (\hat a, \hat b, \hat c)=(0.5, 0.6, 0.6)$

令 $\theta_0=(a_0,b_0, c_0)=(0.4, 0.6, 0.7)$ ，有 $\hat \theta = (\hat a, \hat b, \hat c)=(0.4064, 0.5368, 0.6432)$

高斯混合模型

高斯混合模型为

$P(y|\theta) = \sum_{i=1}^K\alpha_i\phi_i(y|\theta_k)$ ,

其中 $\alpha_i$ 是分模型系数， $\sum_{i=1}^K\alpha_i=1,\alpha_i \geq0$ , $\phi_i(y|\theta_i)$ 是高斯分布密度， $\theta_i=(\mu_i, \sigma_i^2 )$ ,

$\phi(y|\theta)=\frac{1}{\sqrt {2 \pi} \sigma}\exp \left (-\frac{(y - \mu)^2}{2\sigma^2} \right) \\ \phi(y|\theta) = \frac{1}{(2 \pi)^{ \frac {D}{2}} } \frac{1}{\Sigma^{\frac{1}{2}} } \exp \left( -\frac{1}{2} (x - \mu)^T\Sigma^{-1}(x - \mu) \right)$