难度：★★★☆☆
类型：数组
方法：动态规划

题目

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给你一个 n x n 的 方形 整数数组 matrix ，请你找出并返回通过 matrix 的下降路径 的 最小和 。

下降路径 可以从第一行中的任何元素开始，并从每一行中选择一个元素。在下一行选择的元素和当前行所选元素最多相隔一列（即位于正下方或者沿对角线向左或者向右的第一个元素）。具体来说，位置 (row, col) 的下一个元素应当是 (row + 1, col - 1)、(row + 1, col) 或者 (row + 1, col + 1) 。

示例 1：

输入：matrix = [[2,1,3],[6,5,4],[7,8,9]]
输出：13
解释：下面是两条和最小的下降路径，用加粗标注：
[[2,1,3], [[2,1,3],
[6,5,4], [6,5,4],
[7,8,9]] [7,8,9]]

示例 2：

输入：matrix = [[-19,57],[-40,-5]]
输出：-59
解释：下面是一条和最小的下降路径，用加粗标注：
[[-19,57],
[-40,-5]]

示例 3：

输入：matrix = [[-48]]
输出：-48

提示：

n == matrix.length
n == matrix[i].length
1 <= n <= 100
-100 <= matrix[i][j] <= 100

解答

我们用常用动态规划来解决数组遍历问题。

这道题有两点需要注意：

1. 题目中所指的下降，是位置的从上到下，而不是数值的降序；
2. 下降的过程可以有顶多一格的偏移，因此每一格的入口有至多三个。

接下来是动态规划四要素：

【数组定义】

定义数组dp，维度与输入的A数组一致，dp[r][c]表示在以A[r][c]为终点的和最小的下降路径。

【初始状态】

根据物理意义，直接填充第一行元素的值为A数组的第一行即可，代表下降的所有可能起点。

【递推公式】

A[r][c]的上一步有三个可能性，也就是与它最近的上一行的三个位置，因此状态转移方程为:

dp[r][c] = min(dp[r-1][c-1], dp[r-1][c], dp[r-1][c+1]) + A[r][c]

但是要考虑到，A[r][c]有可能是最左端或者最右端的点，这时上一步只有两种可能性了。

                dp[r][c] = min(dp[r-1][c-1] if c != 0 else float("inf"),
                               dp[r-1][c],
                               dp[r-1][c+1] if c != column - 1 else float("inf")) + A[r][c]

【返回值】

返回最后一行的最小值作为题目所求即可。

class Solution(object):
    def minFallingPathSum(self, A):

        row, column = len(A), len(A[0])
        dp = [[None for _ in range(column)] for _ in range(row)]
        dp[0] = A[0]

        for r in range(1, row):
            for c in range(column):
                dp[r][c] = min(dp[r-1][c-1] if c != 0 else float("inf"),
                               dp[r-1][c],
                               dp[r-1][c+1] if c != column - 1 else float("inf")) + A[r][c]

        return min(dp[-1])

如有疑问或建议，欢迎评论区留言~

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