来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/minimum-falling-path-sum/

给你一个 n x n 的 方形 整数数组 matrix ，请你找出并返回通过 matrix 的下降路径 的 最小和 。

下降路径 可以从第一行中的任何元素开始，并从每一行中选择一个元素。在下一行选择的元素和当前行所选元素最多相隔一列（即位于正下方或者沿对角线向左或者向右的第一个元素）。具体来说，位置 (row, col) 的下一个元素应当是 (row + 1, col - 1)、(row + 1, col) 或者 (row + 1, col + 1) 。

示例 1：
输入：matrix = [[2,1,3],[6,5,4],[7,8,9]]
输出：13
解释：下面是两条和最小的下降路径，用加粗+斜体标注：
[[2,1,3], [[2,1,3],
[6,5,4], [6,5,4],
[7,8,9]] [7,8,9]]

示例 2：
输入：matrix = [[-19,57],[-40,-5]]
输出：-59
解释：下面是一条和最小的下降路径，用加粗+斜体标注：
[[-19,57],
[-40,-5]]

示例 3：
输入：matrix = [[-48]]
输出：-48

提示：

• n == matrix.length
• n == matrix[i].length
• 1 <= n <= 100
• -100 <= matrix[i][j] <= 100

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思路

很明显，此题可以使用动态规划来解决
假设这个矩阵，行为row，列为column，我们使用int[][] dp来记录动态状态转移结果。

先找base condition：

根据题意，是寻找下降路径，所以第一层即为出发层
即：当i == 0时，即在最上面这一行的时候，很明显：dp[i][j] = matrix[i][j]

再找转移方程：

分为三种情况：

1. 当j == 0时，即在第一列时，因为存在左边界，所以:
   --> dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i-1][j+1]) + matrix[i][j]
2. 当j == column - 1时，因为存在右边界，所以：
   --> dp[i][j] = min(dp[i-1][j-1], dp[i-1][j]) + matrix[i][j]
3. 剩下则为其他情况：
   --> dp[i][j] = min(dp[i-1][j-1], min(dp[i-1][j], dp[i-1][j+1])) + matrix[i][j]

再找终态：

dp的最下面一层，即为结果，我们只需要找到最小值即可。

代码

    public int minFallingPathSum(int[][] matrix) {
        int row = matrix.length;
        int column = matrix[0].length;
        int[][] dp = new int[row][column];
        // 动态规划
        for (int i = 0; i < row; i++) {
            for (int j = 0; j < column; j++) {
                if (i == 0) {
                    dp[i][j] = matrix[i][j];
                } else if (j == 0) {
                    dp[i][j] = Math.min(dp[i-1][j], dp[i-1][j+1]) + matrix[i][j];
                } else if (j == column - 1) {
                    dp[i][j] = Math.min(dp[i-1][j-1], dp[i-1][j]) + matrix[i][j];
                } else {
                    dp[i][j] = Math.min(dp[i - 1][j - 1], Math.min(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j + 1])) + matrix[i][j];
                }
            }
        }
        int min = dp[row-1][0];
        for (int i = 1; i < column; i++) {
            min = Math.min(dp[row-1][i], min);
        }
        return min;
    }

结果

执行结果