低段的课程内容很丰富，今天我特别想和大家分享的是这几个章节的执行情况：分类游戏，科学数观念的建构，除法运算，图形的运动。
一、分类游戏
孩子们很喜欢玩这个游戏，他们会结合自己丰富的生活经验，在课堂上展开激烈地讨论。这个过程中分类思想的三个主要问题会逐步得到明晰——分类的对象是什么？分类的标准是什么？是否做到了不重不漏？如果分类的标准变了，那么分类的结果也会随着发生变化。而将整个分类的过程制作成物质图谱就会产生了大大小小不同的集合。
这个时候我们就会引导儿童去关注类与子类之间的包含关系，这对儿童来说是一种新的逻辑思维体验。清晰的语言描述是必不可少的，但在小牵牛们看来仅仅用语言描述仿佛还不够，我们还写出了一组加减法算式。备课之初我从没有想过分类游戏能与加减法运算联系起来，其实现在想想这在小牵牛看来是极其自然的事情，分类的过程不就是在将一个大的集合拆分成两个或更多小的集合吗？集合的拆分与合并不就是加减法运算吗？分类游戏产生的集合的数量对应的就是数的基数性质；而我们之前玩的排序游戏对应的就是数的序数性质。这两个游戏其实就是在帮助儿童从动作上建构科学数观念。
二、科学数观念的建构
在科学数观念的建构过程中除了对数的基数和序数性质的理解之外，还包括对十进制和位值制观念的理解。在古人计数的故事中，孩子们感受到了随着人类社会的不断发展，我们的计数方式也在发生着翻天覆地的变化，从实物计数，到半实物半符号计数，再到文字符号计数最后我们终于发明了纯粹形式的阿拉伯数字。在这个过程中十进制和位值制的表达也越来越抽象，一二年级的小朋友又该如何在游戏中逐步建构符合自己年龄特征的十进制和位值制观念呢？
我们会先和孩子们玩一个拆数游戏，一年级小朋友会进行百以内数的拆分，二年级的小朋友会挑战万以内数得拆分，虽然所拆分的数字大小不同，但孩子们都会发现如果按照位值制来分析一个数字，拆分游戏就会变得特别简单。
于是我们开始了对数字的2等分和3等分游戏，
数字所呈现出的规律，就像跳动的思维音符，着实让人着迷。很快就有人提出，为什么不能对数字进行4等分，5等分呢？于是数字60被我们发现了，它既可以进行2等分，也可以进行3等分，还可以进行4等分，5等分，6等分；更神奇的事情还在后面，当我们给数字60加上2，62正好可以平均分成2份，加3的时候正好可以平均分成3份，加4的时候正好可以平均分成4份……
你可以说我们是在为二年级学习除法做准备，但在我们看来这仅仅是一个数学的重大发现而已。孩子们立马产生了想要对其命名的冲动。商议半天之后，最后我们决定叫它力量之神！
而仅仅玩拆数游戏还不足以帮助我们成功建构十进制和位值制观念，我们还需要去沟通不同数位之间的关系。在万以内数的认识这个单元，孩子们自己动手制作了十数条，百数板，将他们做的作品凑在一起就成了一个千数板；
在这个过程中小贝壳们可以直观感受到从个到十，从十到百，从百到千不断满十进一的过程；我们还在教室里用毛线制作出长长的数轴：如果这整段毛线表示一个万，把它平均分成10份，其中的一份就是1个千，如果继续将1个千平均分成10份，其中的1份就是1个百……
在这一正一反的过程中，看似遥远的千和万就被带到了孩子们面前，而不同数位之间的关系是以一种直观可操作的方式呈现给儿童的。若你问：1个千等于几个十，小贝壳脑海中不会去想那个抽象的数位名称，而是在数轴或和方块模型去寻找他们的关系，这样的游戏对于具体运算阶段的儿童而言是必不可少的。
最后我们还需要在多种方法表示数的过程中去感受十进制和位值制的魅力。计数器一定是我们学习的得力助手，如果是自己制作的计数器，那玩起来就更有意思了！橘子皮，树叶，塑料片，乐高日历都可以变成计数器。
在拨计数器的过程中十进制观念就会逐步从低位迁移到更高的数位。今年在课程的执行中我会有意识的将三种语言——文字语言，符号语言，图形语言带入课程，帮助学生将其变成自己分析问题时的思维工具。当儿童用多种语言表达一个大数的时候其实就是在用十进制，位值制思想分析大数。比如在数轴上表示数的时候，孩子们既可以从高位到低位表示也可以从低位到高位表示。
我们不会去专门强调这个数该怎么读，这个数该怎么写，读和写在我们看来只对位值制思想表达的其中一种途径而已。当然遇到0这个小捣蛋的时候，不会去记忆中间末尾法则，而是对表达方式的反思和整理。读数时中间有两个0只读一个0而末尾的0之所以不读是为了数学表达的简洁；在写数时，之所以要写出没有读出的0，是为了不引起歧义。我们在向孩子们传达的是普遍的数学思维表达准则：简洁，无歧义。
如何才能实现核心观念和核心素养的培养？这一定是建立在认知心理学，学科知识之上的以日以年的熏陶，坚守与自我修炼。在小学一年级甚至学前我们就埋下的科学数观念的种子，在二年级会再次得到磨炼，三年级、四年级孩子们又会经历新的拔节生长。谁又能保证，今日在利用位值制和十进制思想尝试进行大数的加减乘除计算的小贝壳，明日不会用它来发明新的算术语言来探索未知的奥秘。核心观念的建构过程就是给生命朝向未来的力量与方向。
三、除法
这个学期，小贝壳还需要建构一种新的运算关系——除法。提到除法你会想到什么？对的。一定是乘法，我们总是想快速的将乘除之间的关系告诉给儿童，然后用满怀期待的眼神盼望着孩子们能顺利解决所有除法问题。但这样真的对吗？除法难道就不能被发明创造吗？除法就不能是它自己吗？
在低段课程中，所有运算都会被还原到动作中去。在对24颗棋子的平均分游戏中孩子们玩出了很多种情况。
对于将24颗棋子平均分成2份，每份有12颗棋子这个平均分结果我们可以用加法，减法，乘法给出解释，但是对于平均分这个动作，已有的这些运算法则好像并不能解释。那就发明一种新的方法除法吧！小贝壳们首先想到的除法算式竟然是——24÷12=2，而且孩子们还给出了非常合理的解释——一共有24颗棋子，如果每份有12颗棋子，我可以将棋子平均分成2份。我顿时傻了眼，同时也注意到了自己的对除法的固有偏见到底有多么深！在我的心目中除法的平均分含义永远是第一位的，包含除含义是第二位的。但从操作过程来说，先确定份数，或者先确定每份的个数都能完成平均分动作，平均分或者包含除并无先后之分。孩子们完全打乱了我的课堂节奏，但我的内心是欣喜的，同时也感受到与学生的对话过程才是课程开发的最重要环节，干脆就按孩子们的想法来，对于每一种平均分动作，我们都从平均分和包含除两个角度进行解释。
在课程计划中我对于这个单元大量的棋子拆分游戏其实是有顾虑的，我怕自己处理得既拖沓又没有趣味性。但在真正的课程执行中，才发现我的担心完全是多余的，孩子们总会在新的棋子拆分游戏中有各种各样的新发现。在24颗棋子能否被平均分成1份的讨论中，我们知道了24÷1=24这个除法算式用包含除解释更合理：24里面包含了1个24；
到了30——40之间数字的平均分游戏时，小贝壳的烟花图作品中的平均分结果总是成对出现的，如果36颗棋子能够被平均分成2份，每份有18颗棋子，那么36颗棋子就一定能够被平均分成18份，每份有2颗棋子……这个好玩的现象该如何解释呢？孩子们却“如鲠在喉”，说不清楚。
不急，那就到具体情景中去看看吧！同样都是算式36÷2=18，当在情景：将36颗棋子平均分成2份，每份有18颗棋子的情景中，就表示平均分的含义；当在情景：将36颗棋子平均分成18份，每份有2颗棋子的情景中时，它就表示包含除的含义。原来这两种平均分结果对应着一个相同的除法算式啊！当我们继续往后玩的时候，孩子们发现这种成对出现的平均分情况，不仅对应着相同的除法算式，竟然也对应着相同的乘法算式。我们在不断地挑战更大数的平均分游戏的过程中也在不断地继续着我们的除法探索之旅。总数，份数，每份的个数，这三个量是在每一次活动中被孩子们亲手操作着的，在这个操作过程中我们用平均分和包含除含义灵活处理着这三个量之间的关系，最重要的是除法并不是孤立的，与加法，减法乘法之间的总是有这密切的关系。当然，小贝壳们已经敏感地感受到了除法与乘法关系的不一般，很多小贝壳们其实都已经开始不由自主地用起了乘法口诀来解释自己的拆分结果，乘除互逆就在在动作操作过程中的自然流露。
只有在动作中对运算本质的理解到位了，之后孩子们编的数学故事才会生动有趣；
制作出的数字树才会生机勃勃；
在面对更大数字的平均分运算时才会信心满满；
四、图形的运动
这个学期小贝壳教室在贞元数理人文公众号上隆重推出了我们自己的数学研究成果。你听过平旋运动或者和旋平运动吗？
你是否注意到如果平面图形的边和角都相等，那么这个平面图形有几条边就会有几条对称轴呢？
你又是否尝试过将圆形分成三角形呢？孩子们给出了各种解释。
当然有人认为我这个问题本身就有问题。
这些新奇好玩的想法是我们在玩《图形的运动》这章之后孩子们的探索，这个时候我想回到这个单元的备课起点处。儿童现有的前欧式几何观念虽然是生活化的，具体的，物理性的，但必将通往那个抽象的，形式化的欧式几何世界；而几何学研究最最美妙的地方就是几何图形在几何变换中保持不变的特性；而我们的小贝壳此刻正站在几何变换的起点处，这是多么神圣的时刻啊！所以图形的运动观念建构成功之后，我们就开始用自己的已有观念开始了平面图形的性质探索之旅。这些常见的平面图形是轴对称图形吗？如果是，它们有几条对称轴？
线的平移运动能产生什么图形？挚东用大米和尺子进行了探索实验。
如果把线换成面呢？凯舰用瓶盖和橡皮泥进行了探索实验。
二年级的小朋友能在图形的运动中研究图形的变与不变性吗？
当然可以，在这样的动手操作之后，孩子们自然就会总结出在旋转运动中什么变了什么没有变。
我们不仅仅是在学习几何变换，更是在学习如何运用几何变换思想探索图形与图形之间的关系。
如果孩子们说——老师数学课怎么变成了手工课，数学老师怎么变成手工老师了！
这应该是对我最大的奖赏吧！把数学好玩对我来说并不是一条好走的路，但一定是一条值得去走的路。
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