在游戏开发中，我们一般常用的碰撞检测算法有AABB，OBB以及分离轴算法。
AABB与OBB一般用于矩形的碰撞检测，而多边形的碰撞检测一般使用分离轴算法，这里说的都是2D图形的碰撞检测
一、什么是分离轴？
将两个多边形投影到任意的一条轴上，如果能找到至少有一个轴上的两个多边形投影没有重叠，那么就说明这两个多边形没有发生碰撞。
在程序实现中，我们不可能去检测所有的轴，这是不现实的，不过好在多边形的特性，我们只需要以多边形的每一条边的法线为轴，分别检测一遍就好了。
分离轴适用的是凸多边形之间检测，不适用于凹多边形，凹多边形的检测，可以通过算法将凹多边形分割成多个凸多边形再进行计算。
分离轴.png
多边形A,B在轴Z''上的投影A''与B''是分离的，所以多边形A,B是分离的。
二、算法实现
2.1、多边形与多边形
（1）辅助方法
---获取两点的距离
function GetDis(vec1,vec2)
local x1 = vec1.x or vec1[1]
local y1 = vec1.y or vec1[2]
local x2 = vec2.x or vec2[1]
local y2 = vec2.y or vec2[2]
local disX = x1 - x2
local disY = y1 - y2
local dis = math.sqrt(disX * disX + disY * disY)
return dis
end
---向量归一化
function Normalize(vec)
local x = vec[1] or vec.x
local y = vec[2] or vec.y
local mag = math.sqrt(x*x + y*y)
if type(vec) == "table" then
vec[1] = x/mag
vec[2] = y/mag
end
vec.x = x/mag
vec.y = y/mag
end
---点乘
function Dot(vec1,vec2)
local x1 = vec1.x or vec1[1]
local y1 = vec1.y or vec1[2]
local x2 = vec2.x or vec2[1]
local y2 = vec2.y or vec2[2]
return x1*x2 + y1*y2
end
---精确到小数点后n位
---num 浮点数
---n 浮点数精确位数
function FloatAccurateN(num,n)
if type(num) ~= "number" then
return num;
end
n = n or 0;
n = math.floor(n)
if n < 0 then
n = 0;
end
local nDecimal = 10 ^ n
local nTemp = math.floor(num * nDecimal);
local nRet = nTemp / nDecimal;
return nRet;
end
---二维向量的向量积
---大小的绝对值表示两个向量构成的三角形的面积的2倍
---正负表示与两个向量构成的平面的法线的方向
function VectorProduct(vec1,vec2)
local vec1X = vec1.x or vec1[1]
local vec1Y = vec1.y or vec1[2]
local vec2X = vec2.x or vec2[1]
local vec2Y = vec2.y or vec2[2]
return vec1X*vec2Y - vec2X*vec1Y
end
function Add(pt1,pt2)
return {x = pt1.x + pt2.x , y = pt1.y + pt2.y }
end
function Sub(pt1,pt2)
return {x = pt1.x - pt2.x , y = pt1.y - pt2.y }
end
-- 计算圆周上的点位置
-- 返回的是通过圆心与水平夹角为angleRadians度的直径在圆上的两个交点
function CalCirclePos(centerPos, radius, angleRadians)
return Add(centerPos, {x=math.cos(angleRadians)*radius, y=math.sin(angleRadians)*radius}),Sub(centerPos, {x=math.cos(angleRadians)*radius, y=math.sin(angleRadians)*radius})
end
---将角度转换为逆时针角度
---rotation (0 ~ 180逆时针,0 ~ -180顺时针)
function changeRotationToInverse(rotation)
rotation = rotation or 0
if rotation < 0 then
rotation = rotation + 360
end
return rotation or 0
end
（2）创建多边形
--创建一个多边形
--name:多边形名字
--offset:实际点与多边形的偏移量，offset为多边形的原点，多边形的顶点位置都是相对于这个点的偏移量
--vertices ： 多边形的顶点数组，位置相对于offset
--rotation ： 旋转角度（角度不是弧度（0~180为逆时针，0~-180为顺时针）
function Polyon(name,offset,vertices,rotation)
local polyon = {}
polyon.name = name or "polyon"
polyon.offset = {offset.x or offset[1] or 0,offset.y or offset[2] or 0}
-- 弧度
polyon.rotation = math.rad(changeRotationToInverse(rotation))
--- 模板顶点，相对于offset为原点的顶点数组
polyon._tempVertices = {}
for i, vertice in ipairs(vertices) do
local x = vertices[i][1]
local y = vertices[i][2]
table.insert(polyon._tempVertices,{x=x,y=y})
end
--顶点数组,实际顶点坐标
polyon._vertices = {}
-- 平面中，一个点(x,y)绕任意点(dx,dy)逆时针旋转a度后的坐标
-- xx= (x - dx)*cos(a) - (y - dy)*sin(a) + dx ;
-- yy= (x - dx)*sin(a) + (y - dy)*cos(a) +dy ;
for i, vertice in ipairs(vertices or {}) do
local x = (vertices[i][1]*math.cos(polyon.rotation))-(vertices[i][2]*math.sin(polyon.rotation))
local y = (vertices[i][1]*math.sin(polyon.rotation))+(vertices[i][2]*math.cos(polyon.rotation))
table.insert(polyon._vertices,{x=x,y=y})
end
---边
polyon._edges = {}
for i=1,#polyon._vertices do
table.insert(polyon._edges, createSegment(polyon._vertices[i], polyon._vertices[1+i%(#polyon._vertices)]))
end
polyon.centerPoint = {x=0,y=0}
--- 注册点到中心点的距离
polyon._centerToAnchorDistance = GetDis({0,0},polyon.offset)
--- 中心点相对于注册点的旋转弧度
polyon._centerToAnchorRadian = math.atan2(polyon.offset[2], polyon.offset[1])
return polyon
end
---多边形的边
---@param vertice1 第一个顶点
---@param vertice2 第二个顶点
function createSegment(vertice1,vertice2)
-- dir为多边形的边的向量
local segment = {pointA = vertice1,pointB = vertice2,dir = {vertice2.x - vertice1.x,vertice2.y - vertice1.y}}
return segment
end
-- 打印多边形
function PrintPolygon(polyon)
print(polyon.name.." offset ",polyon.offset[1],polyon.offset[2])
print(polyon.name.." centerPoint ",polyon.centerPoint.x,polyon.centerPoint.y)
print(polyon.name.."模板顶点信息：===========================================")
for index, value in ipairs(polyon._tempVertices) do
print(string.format("x = %f, y = %f",polyon._tempVertices[index].x,polyon._tempVertices[index].y))
end
print(polyon.name.."模板顶点信息：===========================================")
print(polyon.name.."实际顶点信息：===========================================")
for index, value in ipairs(polyon._vertices) do
print(string.format("x = %f, y = %f",polyon._vertices[index].x,polyon._vertices[index].y))
end
print(polyon.name.."实际顶点信息：=======================================")
print(polyon.name.."边信息：===========================================")
for index, value in ipairs(polyon._edges) do
print(string.format("dir = (%f,%f)",polyon._edges[index].dir[1],polyon._edges[index].dir[2]))
end
print(polyon.name.."边信息：=======================================")
end
多边形offset.png
上图为两个顶点相同，offset不同的两个多边形在（0,0）点位置。
（3）设置多边形
---设置多边形的实际位置，更新多边形的信息
---polyon 多边形
---x 碰撞体的实际位置X
---y 碰撞体的实际位置y
---rotation 是角度不是弧度
function setPolyon(polyon, x, y, rotation)
rotation = changeRotationToInverse(rotation) or 0
local r = math.rad(rotation)
polyon.rotation = r
---相对于世界坐标系旋转的弧度
local radian = polyon._centerToAnchorRadian + r
local dx = polyon._centerToAnchorDistance * math.cos(radian)
local dy = polyon._centerToAnchorDistance * math.sin(radian)
---中心点（offset点）的世界坐标
polyon.centerPoint.x = x + dx
polyon.centerPoint.y = y + dy
---更新多边形顶点位置（相对于世界坐标的）
for i, vertice in ipairs(polyon._vertices) do
local x = polyon._tempVertices[i].x
local y = polyon._tempVertices[i].y
-- 平面中，一个点(x,y)绕任意点(dx,dy)逆时针旋转a度后的坐标
-- xx= (x - dx)*cos(a) - (y - dy)*sin(a) + dx ;
-- yy= (x - dx)*sin(a) + (y - dy)*cos(a) +dy ;
polyon._vertices[i].x = polyon.centerPoint.x + (x*math.cos(polyon.rotation))-(y*math.sin(polyon.rotation))
polyon._vertices[i].y = polyon.centerPoint.y + (x*math.sin(polyon.rotation))+(y*math.cos(polyon.rotation))
end
---更新边的信息
for i=1,#polyon._vertices do
local pointA = polyon._vertices[i]
local pointB = polyon._vertices[1+i%(#polyon._vertices)]
polyon._edges[i].pointA = pointA
polyon._edges[i].pointB = pointB
polyon._edges[i].dir[1] = pointB.x - pointA.x
polyon._edges[i].dir[2] = pointB.y - pointA.y
end
end
先计算中心点相对于实际坐标（x,y）的位置，计算各个顶点在多边形旋转以后与中心点的相对位置，计算出各个顶点的实际坐标点，通过各个顶点的实际坐标再更新多边形的边的信息
（5）计算多边形碰撞
---polygonA 多边形
---polygonB 多边形
---分离轴，以多边形的每条边的法向量为轴，将多边形投影到轴上
---如有任意一个轴上的两个多边形的投影不相交，那么这两个多边形就是分离的
function detectorPolygonvsPolygon(polygonA, polygonB)
local aProjection = {}
local bProjection = {}
local segmentNormal = {}
--遍历多边形的边，以每条边的法线向量作为两个多边形计算投影的投影轴
for i, segment in ipairs(polygonA._edges) do
---边的法线向量
segmentNormal[1] = segment.dir[2]
segmentNormal[2] = -segment.dir[1]
---两个多边形在当前轴上的投影
aProjection[1],aProjection[2] = getProjectionWithAxis(polygonA,segmentNormal)
bProjection[1],bProjection[2] = getProjectionWithAxis(polygonB,segmentNormal)
if not projectionContains(aProjection,bProjection) then
return false
end
end
for i, segment in ipairs(polygonB._edges) do
---边的法线向量
segmentNormal[1] = segment.dir[2]
segmentNormal[1] = -segment.dir[1]
---两个多边形在当前轴上的投影
aProjection[1],aProjection[2] = getProjectionWithAxis(polygonA,segmentNormal)
bProjection[1],bProjection[2] = getProjectionWithAxis(polygonB,segmentNormal)
if not projectionContains(aProjection,bProjection) then
return false
end
end
return true
end
---计算多边形在轴上的投影
---polyon 多边形
---axis 投影的轴
---返回值为投影两端的最大值与最小值
function getProjectionWithAxis(polyon,axis)
--将投影轴归一化
Normalize(axis)
---在轴上面的投影
local min = Dot(polyon._vertices[1],axis)
local max = min
for i,v in ipairs(polyon._vertices) do
local proj = Dot(v, axis)
if proj < min then
min = proj
end
if proj > max then
max = proj
end
end
--返回最小值与最大值，保留小数点后三位
return FloatAccurateN(min,3),FloatAccurateN(max,3)
end
---判断两条投影轴是否相交
function projectionContains(a,b)
local aMin = a[1]
local aMax = a[2]
local bMin = b[1]
local bMax = b[2]
--确保a,b第一个元素小于第二个元素
if aMax < aMin then
aMin = aMax
aMax = a[1]
end
if bMax < bMin then
bMin = bMax
bMax = b[1]
end
return not (aMin > bMax or aMax < bMin)
end
两个多边形分别遍历他们的边，取边的法线向量作为投影轴，将两个多边形分别投影到投影轴上，如果两个多边形的投影不相交，那么两个多边形则没有碰撞。如果所有的边的投影都相交的话，那么两个多边形则发生了碰撞。
（6）计算多边形碰撞测试数据
local polyonA = Polyon("polyonA",{1,1},{{0,1},{-1,0},{-1,-1},{1,-1},{1,0}},0)
setPolyon(polyonA,0,0,0)
local polyonB = Polyon("polyonB",{1,1},{{0,1},{-1,0},{-1,-1},{1,-1},{1,0}},0)
setPolyon(polyonB,2,0,0)
print("多边形A,B碰撞 ： ",detectorPolygonvsPolygon(polyonA,polyonB))
多边形A,B碰撞 ： true
[Finished in 0.1s]
平移碰撞1.png
local polyonA = Polyon("polyonA",{0,0},{{0,1},{-1,0},{-1,-1},{1,-1},{1,0}},0)
setPolyon(polyonA,0,0,60)
local polyonB = Polyon("polyonB",{0,0},{{0,1},{-1,0},{-1,-1},{1,-1},{1,0}},0)
setPolyon(polyonB,2.5,0,-30)
print("多边形A,B碰撞 ： ",detectorPolygonvsPolygon(polyonA,polyonB))
多边形A,B碰撞 ： false
[Finished in 0.1s]
旋转检测.png
2.2、多边形与圆
（1）创建圆
---offset:圆心相对于实际位置的偏移点
---radius:圆的半径
function Circle(offset,radius)
local Circle = {}
Circle.radius = radius or 0
Circle.offset = {x=offset.x and offset[1] or 0, y=offset.y and offset[2] or 0}
Circle.centerPoint = {x=0,y=0}
return Circle
end
（2）设置圆的位置
function CircleSet(circle,x,y,radius)
---圆心的实际位置
circle.centerPoint.x = x + circle.offset.x
circle.centerPoint.y = y + circle.offset.y
circle.radius = radius or circle.radius
end
（3）圆与多边形的碰撞
---计算圆形在轴上的投影
---axis 投影的轴
---返回投影两端的最大值与最小值
function getClicleProjectionWithAxis(circle,axis)
Normalize(axis)
---线段的夹角
local rad = math.atan2(axis.y, axis.x)
---经过圆心，线段与圆相交的两个点的位置
local pointInCircle1,pointInCircle2 = CalCirclePos(circle.centerPoint,circle.radius,rad)
---分别两个点在轴上的投影
local min = Dot(pointInCircle1,axis)
local max = min
local min2 = Dot(pointInCircle2,axis)
if min2 < min then min = min2 end
if min2 > max then max = min2 end
return FloatAccurateN(min,3),FloatAccurateN(max,3)
end
---polygon 多边形
---circle 圆形
---原理与多边形判断一样
function detectorPolygonvsCircle(polygon,circle)
local aProjection = {}
local bProjection = {}
local circleCenter = circle.centerPoint
for i, segment in ipairs(polygon._edges) do
---顶点与圆心的连线(轴)
local axes = {segment.dir[2],-segment.dir[1]}
---多边形在当前轴上的投影
aProjection[1],aProjection[2] = getProjectionWithAxis(polygon,axes)
---圆在当前轴上的投影
bProjection[1],bProjection[2] = getClicleProjectionWithAxis(circle,axes)
if not projectionContains(aProjection,bProjection) then
return false
end
end
return true
end
（4）多边形与圆碰撞测试数据
local polyonA = Polyon("polyonA",{1,1},{{0,1},{-1,0},{-1,-1},{1,-1},{1,0}},0)
setPolyon(polyonA,0,0,0)
local circleA = Circle({0,0},1)
CircleSet(circleA,2,0,1)
print("多边形A与圆B碰撞 ： ",detectorPolygonvsCircle(polyonA,circleA))
多边形A与圆B碰撞 ： true
[Finished in 0.0s]
多边形与圆平移.png
local polyonA = Polyon("polyonA",{0,0},{{0,1},{-1,0},{-1,-1},{1,-1},{1,0}},0)
setPolyon(polyonA,0,0,-45)
local circleA = Circle({0,0},1)
CircleSet(circleA,2,0,1)
print("多边形A与圆B碰撞 ： ",detectorPolygonvsCircle(polyonA,circleA))
多边形A与圆B碰撞 ： false
[Finished in 0.1s]
多边形与圆的旋转平移.png
2.3、多边形与点
(1) 实现
---多边形与点的碰撞(判断一个点是在多边形内，还是在多边形上，还是在多边形外)
---polygon 多边形
---point 需要检测的点
function detectorPolygonvsPoint(polygon,point)
local pointX = point.x or point[1]
local pointY = point.y or point[2]
local fristvectorproduct = 0
for i, edge in ipairs(polygon._edges) do
local vertice = edge.pointA
---边的第一个顶点point的向量
local vertice2point = {pointX - vertice.x,pointY - vertice.y}
---边与vertice2point的向量积
local vectorproduct = FloatAccurateN(VectorProduct(edge.dir,vertice2point),3)
---点在多边形的边上
if vectorproduct == 0 then
return true
end
if i == 1 then
fristvectorproduct = vectorproduct
else
if fristvectorproduct * vectorproduct < 0 then
return false
end
end
end
return true
end
多边形可看做从某点出发的闭合回路，内部的点永远在回路的同一边。通过边与点的连线的向量积(叉积)的正负表示方向，顺时针方向，所有向量积数值均为负，逆时针方向，所有向量积数值均为正
多边形与点参考文章
(2)测试数据
local polyonA = Polyon("polyonA",{0,0},{{0,1},{-1,0},{-1,-1},{1,-1},{1,0}},0)
setPolyon(polyonA,0,0,0)
local pointB = {x=0,y=1}
print("多边形A与点B碰撞 ： ",detectorPolygonvsPoint(polyonA,pointB))
多边形A与点B碰撞 ： true
[Finished in 0.0s]
多边形与点.png
local polyonA = Polyon("polyonA",{0,0},{{0,1},{-1,0},{-1,-1},{1,-1},{1,0}},0)
setPolyon(polyonA,0,0,30)
local pointB = {x=0,y=1}
print("多边形A与点B碰撞 ： ",detectorPolygonvsPoint(polyonA,pointB))
多边形A与点B碰撞 ： false
[Finished in 0.0s]
多边形与点旋转.png
三、分离轴优缺点
优点：
速度快，算法简单易懂，过程只需要简单的向量运算，只要有一个轴满足不相交，就可以停止检测。
缺点：
只能用于检测凸多边形。只能知道多边形发生了碰撞，但是并不能知道是碰撞的具体信息（碰撞位置），但是可以间接的知道碰撞的深度。
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提取码: ffpv
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