动态规划是另一类常用的算法设计思想,广泛应用于组合优化问题。
核心思想
对问题自下而上地求解,将中间结果记录下来以供后面使用,用空间换取时间。
最简单的例子—— Fibonacci数列
Fibonacci数列的定义是:
F(1)=1,F(2)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n>=3,n∈N*)
递归是自上而下求解,写法如下:
//递归法
int FibRec(int n){
if (n<=1){
return n;
}
if (n==2){
return 1;
}
return FibRec(n-1) + FibRec(n-2);
}
用递归树的方法可知,其算法复杂度为O(2^n),效率极差。
观察到每一项都是前两项的和,子问题重叠较多,递归法重复计算很多。所以考虑把中间结果记下来,供后续重复使用,这样就效率大增了。
备忘录法C++代码实现如下:
//备忘录法
int Fib(int n){
if (n<=0){
return n;
}
//备忘录
int* memo = new int[n+1];
memo[0] = 0;
memo[1] = 1;
for (int i=2; i<=n; i++){
memo[i] = memo[i-1] + memo[i-2];
}
return memo[n];
}
算法复杂度为O(n),空间复杂度也为O(n)。
过桥问题
题目:在一个夜黑风高的晚上,有n(n <= 50)个小朋友在桥的这边,现在他们需要过桥,但是由于桥很窄,每次只允许不大于两人通过,他们只有一个手电筒,所以每次过桥的两个人需要把手电筒带回来,i号小朋友过桥的时间为T[i],两个人过桥的总时间为二者中时间长者。问所有小朋友过桥的总时间最短是多少。
这个视频能帮助理解如何得到最优方案。
吊桥谜题Can you solve the bridge riddle
该问题可用动态规划法求解,关键在于写出递推方程。
易知:
F(1) = T(1),一人直接过去
F(2) = T(2),俩人一起过去
F(3) = T(2) + T(1) + T(3),1、2先过去,1回来接3过去
当n>=4时,按照上面视频中的方法:先让1、2过去,然后1回来;再让最慢和次慢的一起过去,然后2回来;最后1、2一起过去。
F(n) = F(n-2) + F(1) + T(n) + F(2) + F(2)
得到这个递推方程,剩下的就和Fibonacci数列的求解一样了。
背包问题
总结
设计步骤可以总结为:
- 划分子问题。
- 确定优化函数,判断是否满足优化原则,即:一个最优决策序列的任何子序列本身,一定是相对于子序列的初始和结束状态的最优决策序列。简单来说,就是最优序列的子序列也是最优的。
- 列出关于优化函数的递推方程(或不等式)和边界条件。
- 视情况设立标记函数,记录划分位置。
- 自底向上计算,以备忘录方法存储中间结果。
- 求得解后,根据备忘录(和标记函数)追溯出最优解。
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