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动态规划算法入门——Fibonacci数列、过桥问题

动态规划算法入门——Fibonacci数列、过桥问题

作者: 篮筐轰炸机5号 | 来源:发表于2019-10-20 22:21 被阅读0次

    动态规划是另一类常用的算法设计思想,广泛应用于组合优化问题。

    核心思想

    对问题自下而上地求解,将中间结果记录下来以供后面使用,用空间换取时间。

    最简单的例子—— Fibonacci数列

    Fibonacci数列的定义是:
    F(1)=1,F(2)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n>=3,n∈N*)

    递归是自上而下求解,写法如下:

    //递归法
    int FibRec(int n){
        if (n<=1){
            return n;
        }
        if (n==2){
            return 1;
        }
        
        return FibRec(n-1) + FibRec(n-2);
    }
    

    用递归树的方法可知,其算法复杂度为O(2^n),效率极差。

    观察到每一项都是前两项的和,子问题重叠较多,递归法重复计算很多。所以考虑把中间结果记下来,供后续重复使用,这样就效率大增了。

    备忘录法C++代码实现如下:

    //备忘录法
    int Fib(int n){
        if (n<=0){
            return n;
        }
        
        //备忘录
        int* memo = new int[n+1];
        
        memo[0] = 0;
        memo[1] = 1;
        
        for (int i=2; i<=n; i++){
            memo[i] = memo[i-1] + memo[i-2];
        }
        
        return memo[n];
    }
    

    算法复杂度为O(n),空间复杂度也为O(n)。

    过桥问题

    题目:在一个夜黑风高的晚上,有n(n <= 50)个小朋友在桥的这边,现在他们需要过桥,但是由于桥很窄,每次只允许不大于两人通过,他们只有一个手电筒,所以每次过桥的两个人需要把手电筒带回来,i号小朋友过桥的时间为T[i],两个人过桥的总时间为二者中时间长者。问所有小朋友过桥的总时间最短是多少。

    这个视频能帮助理解如何得到最优方案。
    吊桥谜题Can you solve the bridge riddle

    该问题可用动态规划法求解,关键在于写出递推方程。

    易知:
    F(1) = T(1),一人直接过去
    F(2) = T(2),俩人一起过去
    F(3) = T(2) + T(1) + T(3),1、2先过去,1回来接3过去
    当n>=4时,按照上面视频中的方法:先让1、2过去,然后1回来;再让最慢和次慢的一起过去,然后2回来;最后1、2一起过去。
    F(n) = F(n-2) + F(1) + T(n) + F(2) + F(2)

    得到这个递推方程,剩下的就和Fibonacci数列的求解一样了。

    背包问题

    总结

    设计步骤可以总结为:

    1. 划分子问题。
    2. 确定优化函数,判断是否满足优化原则,即:一个最优决策序列的任何子序列本身,一定是相对于子序列的初始和结束状态的最优决策序列。简单来说,就是最优序列的子序列也是最优的。
    3. 列出关于优化函数的递推方程(或不等式)和边界条件。
    4. 视情况设立标记函数,记录划分位置。
    5. 自底向上计算,以备忘录方法存储中间结果。
    6. 求得解后,根据备忘录(和标记函数)追溯出最优解。

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