探究变与不变的本质以及 规律性知识间联系

探究变与不变的本质（除法运算的商不变的知识）

  内容概要：商不变是在除法运算中，如果被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数（0除外），那么商不变。事实上“商不变”作为一个运算规律，在数学课程中的重要性远不止于此。

在数学教学中的育人功能不仅仅是德育这一块，还在熟悉与商不变规律相关的内容，通过努力的挖掘，适合各个年龄的知识，在其它的方面能渗透的也应该渗入。

规律性知识间联系的三大类型

一、相对意义的联系

    不同的概念、判断、方法是并存的，它反映的是同一对象的不同方面。比如命题1：在两个除法算式中，如果被除数之间的倍数关系与除数之间的倍数关系相同（0除外），那么两个除法算式的商相等。命题2：在两个除法算式中，如果商相等，那么被除数之间的倍数关系与除数之间的倍数关系相同（0除外）。

  分析：命题1是把被除数之间的倍数关系与除数之间的倍数关系相同作为原因，把商相等作为结果。命题2:则是反过来把商相等看作原因，把被除数之间的倍数关系与除数之间的倍数关系相同看作结果。

    这两个命题具有并存关系而且反映商不变作为结果和作为原因的两个不同方面，因此二者具有相对意义的联系。

二、相容意义的联系

    它的本质是异中有同（相容），比如五年级“分数基本性质”的内容，含义为“一个分数的分子和分母如果同时扩大或缩小相同的倍数0除外，那么分数值不变。”通常认为是为了学习分数的通分或约分奠定基础，毫无疑问是正确的。但这个内容对学生来说并不是新知识。

三、因果意义的联系

  以运动的眼光看长方体，运动中的长方体ABCD的4条边运动的轨迹又产生4个面，因此长方体面的数量就是1+1+4=6个。引导学生进行这样的思考，自然就揭示了长方体的面、顶点和棱三者之间的依赖与制约的联系，也就是因果意义的联系。