小结
- 向量组的线性无关
- 矩阵各列的线性无关
- 一个或两个向量的集合的线性无关
- 两个或多个向量的集合的线性无关
向量组的线性无关
中一组向量{}称为线性无关的,若向量方程仅有平凡解。向量组(集){}称为线性相关的,若存在不全为零的权,使方程成立。方程称为向量的一个线性相关关系,其中权不全为零。一组向量线性相关当且仅当它不是线性无关的。为简单起见,我们也可说线性相关,意思是向量组(集){}是线性相关组。
设。确定向量组{}是否线性相关的。若线性相关,求出的一个线性相关关系。
解:行化简相应的增广矩阵:
~~
显然,和为基本变量,为自由变量。的每一个非零值确定一组非平凡解。因此,向量组{
}是线性相关的。
继续行化简增广矩阵并写出对应方程组的通解 :
选择的一个非零值,比如,则,。
就是的一个线性相关关系。
矩阵各列的线性无关
设我们不考虑向量组而是考虑矩阵,矩阵方程可以写成。
的各列之间的每一个线性相关关系对应于方程的一个非平凡解。矩阵的各列线性无关,当且仅当方程仅有平凡解。
确定矩阵的各列是否线性无关。
解:为研究,把增广矩阵进行行化简:
~~
显然,,和为基本变量,无自由变量。因此方程仅有平凡解。的各列是线性无关的。
一个或两个向量的集合的线性无关
仅含一个向量(比如说)的集合线性无关当且仅当不是零向量。这是因为当时向量方程仅有平凡解。零向量时线性相关的,因为有许多非平凡解。
确定下列向量组是否线性无关。
- ,
- ,
解:
- 注意是的倍数,即。因此,这表明{}线性相关。
- 设和满足。若,则可用表示,即。这是不可能的,因为不是的倍数。故必是零。类似地也必是零。这表明{}是线性无关组。
两个向量的集合{}线性相关,当且仅当其中一个向量是两一个向量的倍数。这个集合线性无关,当且仅当其中任一个向量不是另一个向量的倍数。
从几何意义上看,两个线性相关,当且仅当它们落在通过原点的同一条直线上。
两个或更多个向量的集合的线性无关
定理 两个或更多个向量的集合{}线性相关,当且仅当中至少有一个向量是其他向量的线性组合。事实上,若线性相关,且,则某个是它前面向量的线性组合。
必要性:若中某个是其他向量的线性组合,那么把方程两边剪去就产生一个线性相关关系,其中的权为(-1)。
如,若,那么。
充要性:设线性相关。
若,则它是中其他向量的一个线性组合。即。
若,存在不全为0,使得。
设是使的最大下标。若,则。这是不可能的,因为。故j > 1。即,可得
定理 若一个向量组的向量个数超过每个向量的元素个数,那么这个向量组线性相关。就是说,中任意向量组{}当线性相关。
因为未知量比方程多,必定有自由变量。
定理 若中向量组{}包含零向量,则它线性相关。
把这些向量重新编号,我们可设,于是方程。
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