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线性方程组(七)- 线性无关

线性方程组(七)- 线性无关

作者: mHubery | 来源:发表于2019-02-27 20:45 被阅读0次

小结

  1. 向量组的线性无关
  2. 矩阵各列的线性无关
  3. 一个或两个向量的集合的线性无关
  4. 两个或多个向量的集合的线性无关

向量组的线性无关

\mathbb{R}^{n}中一组向量{\boldsymbol{v_1,\cdots,v_p}}称为线性无关的,若向量方程仅有平凡解。向量组(集){\boldsymbol{v_1,\cdots,v_p}}称为线性相关的,若存在不全为零的权c_1,\cdots,c_p,使c_1\boldsymbol{v_1}+\cdots+c_p\boldsymbol{v_p}=\boldsymbol{0}方程成立。方程c_1\boldsymbol{v_1}+\cdots+c_p\boldsymbol{v_p}=\boldsymbol{0}称为向量\boldsymbol{v_1,\cdots,v_p}的一个线性相关关系,其中权不全为零。一组向量线性相关当且仅当它不是线性无关的。为简单起见,我们也可说\boldsymbol{v_1,\cdots,v_p}线性相关,意思是向量组(集){\boldsymbol{v_1,\cdots,v_p}}是线性相关组。

\boldsymbol{v_1}=\begin{bmatrix}1 \\ 2 \\ 3\end{bmatrix},\boldsymbol{v_2}=\begin{bmatrix}4 \\ 5 \\ 6\end{bmatrix},\boldsymbol{v_3}=\begin{bmatrix}2 \\ 1 \\ 0\end{bmatrix}。确定向量组{\boldsymbol{v_1,v_2,v_3}}是否线性相关的。若线性相关,求出\boldsymbol{v_1,v_2,v_3}的一个线性相关关系。
解:行化简相应的增广矩阵:
\begin{bmatrix} 1 & 4 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 1 & 0 \\ 3 & 6 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 4 & 2 & 0 \\ 0 & -3 & -3 & 0 \\ 0 & -6 & -6 & 0 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 4 & 2 & 0 \\ 0 & -3 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}
显然,x_1x_2为基本变量,x_3为自由变量。x_3的每一个非零值确定一组非平凡解。因此,向量组{
\boldsymbol{v_1,v_2,v_3}}是线性相关的。
继续行化简增广矩阵并写出对应方程组的通解 :
\begin{bmatrix}1 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}\quad \begin{cases}{ x_1 = 2x_3 \\ x_2 = -x_3 \\ 0为自由变量}\end{cases}
选择x_3的一个非零值,比如x_3=5,则x_1=10x_2=-5
10\boldsymbol{v_1}-5\boldsymbol{v_2}+5\boldsymbol{v_3}=\boldsymbol{0}就是\boldsymbol{v_1,v_2,v_3}的一个线性相关关系。

矩阵各列的线性无关

设我们不考虑向量组而是考虑矩阵\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}\boldsymbol{a_1} & \cdots &\boldsymbol{a_n}\end{bmatrix},矩阵方程\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{0}可以写成x_1\boldsymbol{a_1}+\cdots+x_n\boldsymbol{a_n}=\boldsymbol{0}
\boldsymbol{A}的各列之间的每一个线性相关关系对应于方程\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{0}的一个非平凡解。矩阵\boldsymbol{A}的各列线性无关,当且仅当方程\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{0}仅有平凡解。

确定矩阵\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & -1 \\ 5 & 8 & 0\end{bmatrix}的各列是否线性无关。
解:为研究\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{0},把增广矩阵进行行化简:
\begin{bmatrix} 0 & 1 & 4 & 0 \\ 1 & 2 & -1 & 0 \\ 5 & 8 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 0 \\ 0 & 2 & -5 & 0 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 13 & 0 \\ \end{bmatrix}
显然,x_1x_2x_3为基本变量,无自由变量。因此方程\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{0}仅有平凡解。\boldsymbol{A}的各列是线性无关的。

一个或两个向量的集合的线性无关

仅含一个向量(比如说\boldsymbol{v})的集合线性无关当且仅当\boldsymbol{v}不是零向量。这是因为当\boldsymbol{v} \neq 0时向量方程x_1\boldsymbol{v}=\boldsymbol{0}仅有平凡解。零向量时线性相关的,因为x_1\boldsymbol{0}=\boldsymbol{0}有许多非平凡解。

确定下列向量组是否线性无关。

  1. \boldsymbol{v_1}=\begin{bmatrix}3 \\ 1\end{bmatrix}\boldsymbol{v_2}=\begin{bmatrix}6 \\ 2\end{bmatrix}
  2. \boldsymbol{v_1}=\begin{bmatrix}3 \\ 2\end{bmatrix}\boldsymbol{v_2}=\begin{bmatrix}6 \\ 2\end{bmatrix}

解:

  1. 注意\boldsymbol{v_2}\boldsymbol{v_1}的倍数,即\boldsymbol{v_2}=2\boldsymbol{v_1}。因此-2\boldsymbol{v_1} + \boldsymbol{v_2} = \boldsymbol{0},这表明{\boldsymbol{v_1},\boldsymbol{v_2}}线性相关。
  2. cd满足c\boldsymbol{v_1}+d\boldsymbol{v_2}=\boldsymbol{0}。若c \neq 0,则可用\boldsymbol{v_2}表示\boldsymbol{v_1},即\boldsymbol{v_1}=(-\frac{d}{c})\boldsymbol{v_2}。这是不可能的,因为\boldsymbol{v_1}不是\boldsymbol{v_2}的倍数。故c必是零。类似地d也必是零。这表明{\boldsymbol{v_1},\boldsymbol{v_2}}是线性无关组。

两个向量的集合{\boldsymbol{v_1},\boldsymbol{v_2}}线性相关,当且仅当其中一个向量是两一个向量的倍数。这个集合线性无关,当且仅当其中任一个向量不是另一个向量的倍数。

从几何意义上看,两个线性相关,当且仅当它们落在通过原点的同一条直线上。

两个或更多个向量的集合的线性无关

定理 两个或更多个向量的集合\boldsymbol{S}={\boldsymbol{v_1}, \cdots,\boldsymbol{v_2}}线性相关,当且仅当\boldsymbol{S}中至少有一个向量是其他向量的线性组合。事实上,若\boldsymbol{S}线性相关,且\boldsymbol{v_1} \neq 0,则某个\boldsymbol{v_j}(j>1)是它前面向量\boldsymbol{v_1}, \cdots,\boldsymbol{v_{j-1}}的线性组合。

必要性:若\boldsymbol{S}中某个\boldsymbol{v_j}是其他向量的线性组合,那么把方程两边剪去\boldsymbol{v_j}就产生一个线性相关关系,其中\boldsymbol{v_j}的权为(-1)。
如,若\boldsymbol{v_1}=c_2\boldsymbol{v_2}+c_3\boldsymbol{v_3},那么\boldsymbol{0}=-1\boldsymbol{v_1}+c_2\boldsymbol{v_2}+c_3\boldsymbol{v_3}+0\boldsymbol{v_4}+\cdots+0\boldsymbol{v_p}

充要性:设\boldsymbol{S}线性相关。
\boldsymbol{v_1}=\boldsymbol{0},则它是\boldsymbol{S}中其他向量的一个线性组合。即\boldsymbol{0}=c_2\boldsymbol{v_2}+\cdots+c_p\boldsymbol{v_p}
\boldsymbol{v_1} \neq \boldsymbol{0},存在c_1,\cdots,c_p不全为0,使得c_1\boldsymbol{v_1}+\cdots+c_p\boldsymbol{v_p}=\boldsymbol{0}
j是使c_j \neq 0的最大下标。若j=1,则c_1\boldsymbol{v_1}=\boldsymbol{0}。这是不可能的,因为\boldsymbol{v_1} \neq \boldsymbol{0}。故j > 1。即c_1\boldsymbol{v_1}+\cdots+c_j\boldsymbol{v_j}+0\boldsymbol{v_{j+1}}+\cdots+0\boldsymbol{v_p}=\boldsymbol{0},可得c_j\boldsymbol{v_j}=-c_1\boldsymbol{v_1}-\cdots-c_{j-1}\boldsymbol{v_{j-1}}

定理 若一个向量组的向量个数超过每个向量的元素个数,那么这个向量组线性相关。就是说,\mathbb{R^{n}}中任意向量组{\boldsymbol{v_1},\cdots,\boldsymbol{v_p}}当p>n线性相关。
因为未知量比方程多,必定有自由变量。

定理 若\mathbb{R^{n}}中向量组\boldsymbol{S}={\boldsymbol{v_1,\cdots,\boldsymbol{v_p}}}包含零向量,则它线性相关。
把这些向量重新编号,我们可设\boldsymbol{v_1}=\boldsymbol{0},于是方程1\boldsymbol{v_1}+0\boldsymbol{v_2}+\cdots+0\boldsymbol{v_p}=\boldsymbol{0}

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