【线性代数启示录2】关于矩阵乘法的定义及线性变换

一个二维矩阵的乘法示例


矩阵 和 的乘法是什么？

在线性代数的启示1里，可以看到线性方程组和矩阵的关系.
，对于向量 ， 作用之后，变成了 , 矩阵 似乎对应了一个函数映射。
在代数中有专门的术语变换。

从映射变换的角度看 ,它是一个 n 维度的向量，那么作用在 上仍然是一个 n维的向量。

能不能写成 ， 这样写有啥好处？
可能有好处，因此我们希望可以将复合式的映射写成 那么就要考虑 的定义，这就引出了矩阵乘法的定义
矩阵的乘法为什么不是点乘或是别的样子。

取决于矩阵的提炼，它是来自线性方程组 , 它和列向量的映射形式是 每一行和列向量的每一列逐项进行代数乘，然后再代数加

将 做个替换，设

由于， ,
对列向量 的每个元素，就有

因为 的任意性，就可以看出，要满足复合性，应该定义 的 第 i 行 第 j 列的元素是

总结

矩阵乘法的定义因而是为了和线性变化的复合自洽，同时也基于矩阵和线性方程组的关系——矩阵是从线性方程组中提取出抽象表示的产物。

有了矩阵乘，我们就可以对于 把右侧的矩阵改成变量，为了使它有意义，根据矩阵乘法的定义 假设 A 是 的矩阵，那么 B 必须为 n 行，B表达成
都是 n 元的列向量

是一个m元向量

矩阵 将 n 元向量映射成 m元向量。
因此，一般化后，我们考虑一种这样的映射:
它满足一些特性：

这些特性实际上是从矩阵运算中抽象出来的，也可以说是从一元函数 中抽象的，它满足

或写成

的几何性状，在二维的平面上是一条直线，因而把这种特征称为线性， 它具有几何背景，因而延伸到多维情形时，我们称 就是一个线性变换。

例子：

它把 向量 变换成 如图，绿线到红线的转化就是平面图上的旋转和拉伸。

几何关系

为什么人们要注意线性变换，有一个原因可能是线性变换和矩阵含有一种内在的联系。
由矩阵上的代数运算，很容易验证矩阵作用在 上就是一种线性变换。

自然地，有问题：
每一个线性变换是不是对应着一个矩阵，反过来是不是也是如此，其次，这种对应是不是唯一的？

这个问题的回答是肯定的。
任意的线性变换对应一个唯一的矩阵。
对于线性变换 存在唯一的矩阵
使得

从矩阵的代数运算抽象出线性变换的规则，再把它和矩阵联系起来。矩阵的本质，从线性变换的角度看不仅仅是线性方程组的抽象表示。