014-最小生成树-Kruskal算法

上一章 我们了解了使用Prim算法来求解最小生成树，这一章我们我们使用Kruskal算法来求解最小生成树

最小生成树1

Kruskal算法思想

1. Kruskal算法是通过边表来求解最小生成树，所以首先要将图转化为边表数组，并对边表的权值进行边表排序
2. parent数组用来保存各个顶点的链接关系，并且用来防止出现环路
3. 循环边表并更新parent数组

将上图转化为边表以后如下图：

边表数组

接下来我们模拟执行几次，了解一下parent数组是如何进行更新的以及防止产生闭环的：

第一次执行 第二次执行 第三次执行 第四次执行 第六次执行

最终执行结束后parent数组如下图

执行结束

根据parent数组，我们就可以找出最小生成树的所有连接路径如下图

最小生成树

代码：

#include "stdio.h"
#include "stdlib.h"

#include "math.h"
#include "time.h"

#define OK 1
#define ERROR 0
#define TRUE 1
#define FALSE 0
#define MAXEDGE 20
#define MAXVEX 20
#define INFINITYC 65535

typedef int Status;
typedef struct
{
    int arc[MAXVEX][MAXVEX];
    int numVertexes, numEdges;
}MGraph;

/* 对边集数组Edge结构的定义 */
typedef struct
{
    int begin;
    int end;
    int weight;
}Edge ;

/*9.1 创建邻接矩阵*/
void CreateMGraph(MGraph *G)
{
    int i, j;
    
    /* printf("请输入边数和顶点数:"); */
    G->numEdges=15;
    G->numVertexes=9;
    
    for (i = 0; i < G->numVertexes; i++)/* 初始化图 */
    {
        for ( j = 0; j < G->numVertexes; j++)
        {
            if (i==j)
                G->arc[i][j]=0;
            else
                G->arc[i][j] = G->arc[j][i] = INFINITYC;
        }
    }
    
    G->arc[0][1]=10;
    G->arc[0][5]=11;
    G->arc[1][2]=18;
    G->arc[1][8]=12;
    G->arc[1][6]=16;
    G->arc[2][8]=8;
    G->arc[2][3]=22;
    G->arc[3][8]=21;
    G->arc[3][6]=24;
    G->arc[3][7]=16;
    G->arc[3][4]=20;
    G->arc[4][7]=7;
    G->arc[4][5]=26;
    G->arc[5][6]=17;
    G->arc[6][7]=19;
    
    for(i = 0; i < G->numVertexes; i++)
    {
        for(j = i; j < G->numVertexes; j++)
        {
            G->arc[j][i] =G->arc[i][j];
        }
    }
    
}


/* 交换权值以及头和尾 */
void Swapn(Edge *edges,int i, int j)
{
    int tempValue;
    
    //交换edges[i].begin 和 edges[j].begin 的值
    tempValue = edges[i].begin;
    edges[i].begin = edges[j].begin;
    edges[j].begin = tempValue;
    
    //交换edges[i].end 和 edges[j].end 的值
    tempValue = edges[i].end;
    edges[i].end = edges[j].end;
    edges[j].end = tempValue;
    
    //交换edges[i].weight 和 edges[j].weight 的值
    tempValue = edges[i].weight;
    edges[i].weight = edges[j].weight;
    edges[j].weight = tempValue;
}

/* 对权值进行排序 */
void sort(Edge edges[],MGraph *G)
{
    //对权值进行排序(从小到大)
    int i, j;
    for ( i = 0; i < G->numEdges; i++)
    {
        for ( j = i + 1; j < G->numEdges; j++)
        {
            if (edges[i].weight > edges[j].weight)
            {
                Swapn(edges, i, j);
            }
        }
    }
    
    printf("边集数组根据权值排序之后的为:\n");
    for (i = 0; i < G->numEdges; i++)
    {
        printf("(%d, %d) %d\n", edges[i].begin, edges[i].end, edges[i].weight);
    }
    
}

/* 查找连线顶点的尾部下标 */
//根据顶点f以及parent 数组,可以找到当前顶点的尾部下标; 帮助我们判断2点之间是否存在闭环问题;
int Find(int *parent, int f)
{
    while ( parent[f] > 0)
    {
        f = parent[f];
    }
    return f;
}

/* 生成最小生成树 */
void MiniSpanTree_Kruskal(MGraph G)
{
    int i, j, n, m;
    int sum = 0;
    int k = 0;
    /* 定义一数组用来判断边与边是否形成环路
     用来记录顶点间的连接关系. 通过它来防止最小生成树产生闭环;*/
    
    int parent[MAXVEX];
    /* 定义边集数组,edge的结构为begin,end,weight,均为整型 */
    Edge edges[MAXEDGE];
    
    /*1. 用来构建边集数组*/
    for ( i = 0; i < G.numVertexes-1; i++)
    {
        for (j = i + 1; j < G.numVertexes; j++)
        {
            //如果当前路径权值 != ∞
            if (G.arc[i][j]<INFINITYC)
            {
                //将路径对应的begin,end,weight 存储到edges 边集数组中.
                edges[k].begin = i;
                edges[k].end = j;
                edges[k].weight = G.arc[i][j];
                
                //边集数组计算器k++;
                k++;
            }
        }
    }
    
    //2. 对边集数组排序
    sort(edges, &G);
    
    
    //3.初始化parent 数组为0. 9个顶点;
    // for (i = 0; i < G.numVertexes; i++)
    for (i = 0; i < MAXVEX; i++)
        parent[i] = 0;
    
    //4. 计算最小生成树
    printf("打印最小生成树：\n");
    /* 循环每一条边 G.numEdges 有15条边*/
    for (i = 0; i < G.numEdges; i++)
    {
        //获取begin,end 在parent 数组中的信息;
        //如果n = m ,将begin 和 end 连接,就会产生闭合的环.
        n = Find(parent,edges[i].begin);
        m = Find(parent,edges[i].end);
        //printf("n = %d,m = %d\n",n,m);
        
        /* 假如n与m不等，说明此边没有与现有的生成树形成环路 */
        if (n != m)
        {
            /* 将此边的结尾顶点放入下标为起点的parent中。 */
            /* 表示此顶点已经在生成树集合中 */
            parent[n] = m;
            
            /*打印最小生成树路径*/
            printf("(%d, %d) %d\n", edges[i].begin, edges[i].end, edges[i].weight);
            sum += edges[i].weight;
        }
    }
    
    printf("sum = %d\n",sum);
}

int main(int argc, const char * argv[]) {
    
    printf("Hello,最小生成树_Kruskal算法\n");
    MGraph G;
    CreateMGraph(&G);
    MiniSpanTree_Kruskal(G);
    return 0;
}